Составители:
Рубрика:
53
0
()
() lim lim () ()
xcx
Fx
Fx fc fx
x
Δ
Δ
Δ
→→
′
===
.
Доказанную теорему можно сформулировать иначе: если функция
()
f
x непрерывна на промежутке
[
]
,ab, то определенный интеграл с
переменным верхним пределом есть одна из ее первообразных на этом
промежутке. Отсюда следует, что
() ()
x
a
f
xdx f tdt C
=
+
∫∫
.
Теорема. (основная теорема интегрального исчисления). Если
функция ()
f
x непрерывна на промежутке
[
]
,ab и ()
x
Φ - ее любая пер-
вообразная на этом промежутке, то имеет место равенство
() () ()
b
a
f
xdx b aΦΦ=−
∫
. (2.14)
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница
1
.
Доказательство. Каждая из функций ()
x
Φ и
()
x
a
f
tdt
∫
является
первообразной для ()
f
x на промежутке
[
]
,ab и, следовательно, они
различаются друг от друга на некоторую определенную постоянную
1
C , так что
1
() ( )
x
a
f
tdt x CΦ
=
+
∫
. (2.15)
Для определения
1
C положим в этом равенстве
x
a
=
; тогда получим
1
()CaΦ=− . Используя это, запишем равенство (2.15) в виде
() ( ) ( )
x
a
f
tdt x aΦΦ=−
∫
.
Положив теперь
x
b= и возвращаясь к прежнему обозначению пере-
менной интегрирования, получим равенство (2.14).
Примечание. Для краткости записи часто употребляют обозна-
чение (знак двойной подстановки)
() () ()
b
a
ba xΦΦ Φ−= .
Учитывая это, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
1
И. Ньютон (1643-1727) – английский физик и математик,
Г.В.Лейбниц (1646-1716) – немецкий физик и математик
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
