Составители:
Рубрика:
55
Пример. Вычислить
2
0
()
f
xdx
∫
, где
2
01,
()
31 2.
xx
fx
xx
⎧
≤
<
=
⎨
−
≤≤
⎩
Данная функция имеет один конечный разрыв на точке х = 1. Поэто-
му
()
212
2
001
2
1
32
0
1
() 3
1511
34.
32326
f x dx x dx x dx
xx
x
=
+− =
⎛⎞
=+− =+−=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
Отметим, что при вычислении интеграла
1
2
0
x
dx
∫
для обеспечения не-
прерывности подынтегральной функции на промежутке [0,1] мы счи-
тали, что на правом конце промежутка значение функции равно
2
10
lim 1.
x
x
→−
=
§4. Формула замены переменной в определенном
интеграле
Одним из эффективных методов вычисления определенных инте-
гралов является метод замены переменной интегрирования (метод
подстановки), Выведем формулу замены переменной в определенном
интеграле.
Теорема. Если функция
()
f
x
непрерывна на промежутке
[
]
,ab, а
функция
(
)
t
ϕ
непрерывно дифференцируема на промежутке
[
]
,
α
β
,
причем промежуток
[
]
,
α
β
отображается функцией
(
)
t
ϕ
в промежуток
[
]
,ab, так что
() ()
,ab
ϕ
αϕβ
==, то
() ()
() .
b
a
f
xdx f t t dt
β
α
ϕϕ
′
=
⎡⎤
⎣⎦
∫∫
(2.17)
Эта формула называется формулой замены переменной интегриро-
вания (подстановки).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
