Составители:
Рубрика:
56
Доказательство. Пусть ()Fx - какая-либо первообразная для
функции ()
f
x на промежутке
[
]
,
α
β
. Тогда по формуле Ньютона-
Лейбница имеем
() () ().
b
a
f
xdx Fb Fa=−
∫
(2.18)
Вычислим производную сложной функции
(
)
Ft
ϕ
⎡
⎤
⎣
⎦
, используя правило
дифференцирования сложной функции и то, что
(
)()
Fx fx
′
= . Полу-
чим
()
()
() () () ()
.Ft F t tf t t
ϕϕϕϕϕ
′
′
′′
==⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
(2.19)
Из равенства (2.19) следует, что функция
(
)
Ft
ϕ
⎡
⎤
⎣
⎦
является первообраз-
ной для функции
()
(
)
f
tt
ϕϕ
′
⎡⎤
⎣⎦
и, следовательно, по формуле Ньютона-
Лейбница имеем
() () ()
() ()
() ().
ft tdtFt
FFFbFa
β
β
α
α
ϕϕ ϕ
ϕβ ϕα
′
=
=⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
=−=−⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
∫
(2.20)
Из совпадения правых частей равенства (2.18) и (2.20) следует совпа-
дение левых, т.е. справедливость формулы (2.17).
Примечание. Для вычисления определенного интеграла могут
применяться подстановки в виде (), () ()txt x
ϕ
ΨΨ
=
= , а также в виде
уравнения (, ) 0txΦ
=
, определяющего одну переменную как неявную
функцию другой.
Примеры: 1. Вычислить
1
2
0
1.
J
xdx=−
∫
Сделаем подстановку sin
x
t= , считая
0,
2
t
π
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
. Проверим соответ-
ствие пределов. При
0t =
имеем
0
x
=
, при
2
t
π
=
имеем
1
x
=
,
следовательно, в соответствии с формулой (2.17) можем написать
1
2
2
00
1coscos.
J
xdx t tdt
π
=− =
∫∫
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
