Составители:
Рубрика:
57
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся тем, что
()
2
1
cos 1 cos 2
2
tt=+
и тем, что функция
1
sin at
a
является первооб-
разной для функции cos at . Итак,
()
22
2
00
1
cos 1 cos 2
2
J
tdt t dt
ππ
==+=
∫∫
22
00
11 1
sin 2 0 .
22 22 4
tt
ππ
π
π
⎡⎤
⎛⎞
=
+=+=
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
2. Вычислить
4
0
.
1
dx
x
+
∫
Сделаем подстановку
2
x
t= , считая 0t ≥ . Найдем новые пределы
интегрирования: при 0
x
= имеем 0t
=
, при 4
x
=
имеем 2t = . Та-
ким образом, имеем
422 2
000 0
211 1
221
11 1
1
dx tdt t
dt dt
tt t
x
+
−
⎛⎞
== =− =
⎜⎟
++ +
+
⎝⎠
∫∫∫ ∫
()
()
22
00
2 ln(1 ) 2 2 ln 3 4 ln 9.tt=−+=−=−
3. Вычислить
ln 2
0
1 .
x
edx−
∫
Попытаемся упростить подынтегральное выражение, положив
1
x
et−=
. Иначе говоря, сделаем замену переменной
()
2
ln 1
x
t=+. С помощью формулы 1
x
te
=
− найдем новые преде-
лы интегрирования: при 0
x
=
имеем 0t
=
, при ln 2
x
=
имеем 1t
=
.
В согласии с формулой (2.17) имеем
ln 2 1
2
00
2
1
1
x
t
edxt dt
t
−
=⋅ =
+
∫∫
2
11
22
00
11 1
221
11
t
dt dt
tt
+−
⎛⎞
==−=
⎜⎟
++
⎝⎠
∫∫
()
11
00
2212.
42
tarctgt
π
π
⎛⎞
=
−=−=−
⎜⎟
⎝⎠
4. Вычислить
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
