Составители:
Рубрика:
59
Заметим, что для функции (uv
′
) первообразной является функция
uv
и,
следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница имеем
()
b
b
a
a
uv dx uv
′
=
∫
.
Из последних двух равенств следует
bb
b
a
aa
uv u vdx uv dx
′
′
=+
∫∫
откуда и получается равенство (2.21).
Примечание. Часто равенство (2.21) записывается в виде
bb
b
a
aa
udv uv vdu=−
∫∫
.
В этом случае следует иметь ввиду, что в обоих определенных интегра-
лах интегрирование производится по переменной х, а не v и и, как это
формально следует из формы записи интегралов.
Примеры: 1. Вычислить
2
1
ln
x
xdx
∫
.
Полагаем
ln , ;uxdvxdx==
тогда
2
1
,
2
x
du dx v
x
==, следовательно,
по формуле (2.21) имеем
22
22
2
1
11
1
ln ln
22
xx
x
xdx x dx
x
=
−⋅ =
∫∫
2
2
2
1
1
13
2ln2 2ln2 ln4 .
244
x
xdx=− =−=−
∫
2. Вычислить
1
0
x
arctgxdx
∫
.
Этот интеграл тоже будем вычислять с помощью метода интегрирова-
ния по частям, положив
,uarctgxdvxdx
=
=
Тогда
2
,
1
dx
du
x
=
+
2
2
x
v = и в согласии с формулой (2.21) сможем написать
22
11
1
2
0
00
22
1
xxdx
xarctgxdx arctgx
x
== − ⋅ =
+
∫∫
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
