Составители:
Рубрика:
58
2
2
0
.
x
exdx
∫
Чтобы упростить подинтегральное выражение, попробуем положить
2
x
t= , т.е. сделаем замену переменной
x
t
=
, считая 0t ≥ . С по-
мощью формулы
2
x
t= найдем новые пределы интегрирования: при
0
x
= имеем 0t = , при 2
x
= имеем 4t
=
. Используя формулу (2.17),
получим
()
2
24 4
4
4
0
00 0
111
1.
222
2
xt tt
dt
exdx e t edt e e
t
====−
∫∫ ∫
В заключение заметим, что подбор удачной подстановки бывает не
так очевиден, как в простейших случаях. Все зависит от навыка и
изобретательности того, кто выполняет интегрирование, ибо общих
правил отыскания удачных подстановок не существует.
§5. Формула интегрирования по частям для
определенного интеграла
Одним из основных методов вычисления определенных интегралов
является метод интегрирования по частям. Выведем формулу ин-
тегрирования по частям для определенного интеграла.
Теорема. Если функции ()uux
=
и ()vvx
=
непрерывны вместе со
своими производными на промежутке
[
]
,ab, то
() () ()() () ()
b
bb
aa
a
uxv xdx uxvx vxu xdx
′′
=−
∫∫
(2.21)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для
определенного интеграла.
Доказательство. Заменим подынтегральную функцию в интегра-
ле
[]
()()
b
a
uxvx dx
′
∫
правой частью тождества
[]
()() ()() () ()uxvx u xvx uxv x
′
′
′
=+
.
Будем иметь
() ( )
bb bb
aa aa
uv dx u v uv dx u vdx uv dx
′
′
′′ ′
=+ = +
∫∫ ∫∫
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
