Интегральное исчисление функций одной переменной. Потапенко А.А. - 6 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

6
()
+=+ xdxxdxx 1
справедливо с точностью до произвольной постоянной, ибо произ-
водная левой и правой частей равны одной и той же функции
.1
+
x
Возникает вопрос: какими свойствами должна обладать функция
)(
x
f
, чтобы у нее существовала первообразная и, следовательно, не-
определенный интеграл (в этом случае эту функцию называют ин-
тегрируемой).
Приведем без доказательства следующую теорему существования
неопределенного интеграла.
Теорема 2. Если функция
)(
x
f
непрерывна на некотором про-
межутке, то на этом промежутке она интегрируема, т.е. имеет перво-
образную и, следовательно, неопределенный интеграл.
В частности, из этой теоремы следует, что всякая элементарная
функция в своей области определения имеет неопределенный инте-
грал.
§2. Свойства неопределенного интеграла
Свойство 1.
Производная неопределенного интеграла равна
подинтегральной функции, т.е.
(
)
).()( xfdxxf =
(1.2)
Справедливость этого свойства следует непосредственно из оп-
ределения неопределенного интеграла, если под словамипроизвод-
ная неопределенного интегралапонимать производную от любой
первообразной для функции
)(
x
f
.
Свойство 2. Постоянный множитель
k
подинтегральной функ-
ции можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.
= dxxfkdxxkf )()( . (1.3)
Доказательство. Убедимся, что равны производные обеих час-
тей равенства (1.3). В согласии со свойством 1 сможем написать
()
).()( xkfdxxkf =
(1.4)
Если продифференцировать выражение, стоящее в правой части ра-
венства (1.3), то, учитывая, что постоянный множитель можно выно-
сить за знак производной и используя равенство (1.2), сможем напи-
сать