Составители:
Рубрика:
62
и обозначается символом ()
a
f
xdx
+∞
∫
. Таким образом, по определению
() lim ()
A
A
aa
f
xdx f xdx
+∞
→+∞
=
∫∫
(2.26)
Несобственный интеграл (2.26) называется сходящимся, если указан-
ный предел конечен, и расходящимся, если он равен бесконечности
или не существует.
Факт сходимости интеграла записывается в виде неравенства
()
a
fxdx
+∞
<
∞
∫
Несобственный интеграл от функции ()
f
x по промежутку
(
]
,a
−
∞
определяется аналогично
() lim () .
aa
A
A
f
xdx f xdx
→−∞
−∞
=
∫∫
Наконец, несобственный интеграл от функции ()
f
x по промежутку
()
,−∞ +∞ определяется с помощью следующего равенства
() () ()
a
a
f
xdx f xdx f xdx
∞+∞
−∞ −∞
=+
∫∫∫
(2.27)
где а - произвольное число.
Интеграл в левой части равенства (2.27) считается сходящимся, ес-
ли сходятся оба интеграла в правой части; если хотя бы один из этих
интегралов расходится, то расходится и интеграл ()
f
xdx
∞
−
∞
∫
. Можно
показать, что сходимость интеграла (2.27) и его значение не зависят от
выбора числа а. Ниже рассматриваются несобственные интегралы ви-
да ()
a
f
xdx
+∞
∫
, так как теория несобственных интегралов вида
()
a
f
xdx
−∞
∫
и ()
f
xdx
∞
−∞
∫
аналогична.
С геометрической точки зрения несобственный интеграл ()
a
f
xdx
+∞
∫
от непрерывной неотрицательной функции ()
f
x можно интерпрети-
ровать как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции ()
f
x и простирающиеся в бесконечность (рис.6).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
