Составители:
Рубрика:
64
сти интеграла ()
a
f
xdx
+∞
∫
следует сходимость ()
a
x
dx
ϕ
+∞
∫
, a из расхо-
димости
()
a
x
dx
ϕ
+∞
∫
следует расходимость
()
a
f
xdx
+∞
∫
.
Теорему 1 примем без доказательства, а теореме 2 дадим гео-
метрическую иллюстрацию. Пусть
1
l
и
2
l
означают графики функ-
ций соответственно
()
x
ϕ
и ()
f
x (рис.7).
Так как
()
()
x
fx
ϕ
≤ , то кривая
1
l
расположена не выше кривой
2
l . Очевидно, что если интеграл ()
a
f
xdx
+∞
∫
сходится, то кривая
2
l
ограничивает конечную площадь, тогда и кривая
1
l
ограничива-
ет конечную площадь, т.е. интеграл
()
a
x
dx
ϕ
+∞
∫
сходится. С другой
стороны, если интеграл ()
a
x
dx
ϕ
+∞
∫
расходится, то криволинейная
трапеция, ограниченная кривой
1
l не имеет конечной площади, а
тогда и подавно криволинейная трапеция, ограниченная кривой
2
l ,
не имеет конечной площади, а это и значит, что интеграл
()
a
f
xdx
+∞
∫
расходится.
Пример. Исследо-
вать сходимость инте-
грала
2
1
sin
1
x
dx
x
+∞
+
∫
.
Так как при всех рас-
сматриваемых х выпол-
няется неравенство
22
sin 1
,
11
x
x
x
≤
++
а интеграл
2
1
1
dx
x
+∞
+
∫
схо-
дится (см. пример выше), то данный интеграл сходится и при-
том абсолютно.
O
y
a
x
1
l
2
l
Ðè ñ . 7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
