Составители:
Рубрика:
66
С геометрической точки зрения
несобственный интеграл ()
b
a
f
xdx
∫
от неотрицательной функции, не-
ограниченной в точке b, можно
интерпретировать как площадь
криволинейной трапеции с верх-
ней границей, простирающейся в
бесконечность (рис.8). Если инте-
грал сходится, то этой трапеции приписывается конечная площадь.
На несобственный интеграл от неограниченной функции распростра-
няется формула Ньтона-Лейбница. Так, если ()Fx - первообразная для
()
f
x на промежутке
[
)
,ab (в точке b функция ()
f
x имеет бесконеч-
ный разрыв), то
[]
00
() lim () lim ( ) () ( 0) (),
bA
Ab Ab
aa
f
xdx f xdx F A Fa Fb Fa
→− →−
==−=−−
∫∫
где
0
(0)lim().
Ab
Fb FA
→−
−=
Понятие абсолютной сходимости для несобственного интеграла от
неограниченной функции определяется точно также как и для несобст-
венного интеграла по бесконечному промежутку.
Для несобственных интегралов от неограниченных функций имеют
место признаки сходимости, аналогичные признакам сходимости инте-
гралов по бесконечному промежутку.
Замечание. Остановимся на одном из средств представления функ-
ций.
Рассмотрим функцию
(
)
(
)
, 1,2,3,4,...
n
tx nΦ
=
, которая задана в
квадрате
()
,atbaxb≤≤ < < и такая, что для любых
α
и
β
, удовле-
творяющих условию axb
α
β
≤<<≤ выполняется равенство
()
lim , 1.
n
n
txdt
β
α
Φ
→∞
=
∫
Интеграл вида
()()
,,
b
n
a
txf tdtΦ
∫
где
()
f
t интегрируемая на
[
]
,ab функция называется сингулярным
интегралом, а
(
)
,
n
txΦ - ядром. При этом выполняется равенство
()
yf
x=
O
a
b
x
y
Ðè ñ. 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
