Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

15
1. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ
Цель работы:
изучение основных свойств классических ортогональных полино-
мов, приобретение навыков работы с ними.
1.1. Теоретические основы лабораторной работы
Рассмотрим основные понятия и определения, необходимые для описания и
исследования ортогональных полиномов и функций, применяемых для построения
функциональных вероятностных характеристик случайных процессов [7, 17, 21 - 28,
51, 53].
Определение 1. Функция
(
)
xf , заданная на отрезке
[
]
b,a , называется функци-
ей с суммируемым квадратом, если
()
∫
∞<
b
a
2
dxxf . (1.1)
Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается обычно
символом
2
L -
()
2
Lxf ∈ . Отметим, что и
(
)
2
Lxfc
∈
, где cons
t
c
=
.
Определение 2. Нормой функции
(
)
xf называется число, определяемое вы-
ражением
()
∫
=
b
a
2
dxxff . (1.2)
Отметим, что
1.
0f ≥ , причем 0f = тогда и только тогда, когда
()
xf тождественно
равно нулю;
2.
fccf = и, в частности ff
−
=
;
3.
gfgf +≤+ .
Введение нормы позволяет рассматривать
2
L
как метрическое пространство, в
котором можно производить измерения, если принять число
()
gfg,f −=
ρ
за расстояние между элементами
f
и
g
класса
2
L .
При этом расстояние
()
g,f
обладает следующими свойствами:
1.
()
0g,f ≥
, причем
(
)
0g,f
=
тогда и только тогда, когда
g
f
= ;
2.
()()
f,gg,f
=
;
3.
()()
(
)
g,hh,fg,f
+
≤
.
Если на некотором множестве
A
элементов любой природы задана функция
()
g,f
, то множество
A
называют метрическим пространством. Следовательно,
множество
2
L
- метрическое пространство. Впервые эту точку зрения на
2
L
развил
Д. Гильберт, поэтому
2
L часто называют пространством Гильберта.
Определение 3. Элемент
f
пространства
2
L называется пределом последова-
тельности
1
f
,
2
f
, …, элементов этого же пространства, если всякому 0>
ε
отвечает
такое
N
, что при всех
N
n > будет выполняться
ε
<
−
n
ff , т.е.

Страницы