Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

17
Определение 9. Ряд
() ()
∑
∞
=
=
0k
k,нk
xxf
ψβ
(1.10)
называется рядом Фурье функции
(
)
xf в системе
(
)
{
}
x
k,н
ψ
.
Рассмотрим, насколько близка в пространстве Гильберта частная сумма ряда
Фурье функции
()
xf
() ()
∑
=
=
m
k
k,нkm
xxf
0
ψβ
, (1.11)
к самой этой функции, т.е. вычислим
2
m
ff − . С учетом свойств ортогональности
(см. определение 6), получим
() ()
∑
∫
∑
==
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−
m
k
k
b
a
m
k
k,нkm
fdxxxfff
0
2
2
2
0
2
βψβ
. (1.12)
Это равенство называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть не
отрицательна, то из него следует неравенство Бесселя
∑
=
≤
m
k
k
f
0
2
2
β
. (1.13)
Поскольку
m произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в уси-
ленной форме
∑
∞
=
≤
0
2
2
k
k
f
β
. (1.14)
Если
∑
∞
=
=
0
2
2
k
k
f
β
, (1.15)
то это равенство носит название формулы замкнутости или равенства Парсеваля.
С учетом (1.15) формулу (1.12) представим в виде
∞→
=−
n
.0fflim
m
(1.16)
Иначе говоря, формула замкнутости означает, что частные суммы
(
)
xf
m
ряда
Фурье функции
()
xf сходятся в среднем к этой функции.
Для ортогональной системы функций выражение (1.12) приведем к виду
() ()
2
0
2
2
2
0
2
k
m
k
k
b
a
m
k
kkm
fdxxxfff
ψβψβ
∑
∫
∑
==
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−
. (1.17)
Определение 10. Ортонормальная система
(
)
{
}
x
k,н
ψ
называется замкнутой,
если формула замкнутости имеет место для любой функции из
2
L .
Теорема 10.1. Если система
(
)
{
}
x
k,н
ψ
замкнута, то для любой пары функций
()
xf и
()
xg из
2
L будет
()()
∫
∑
∞
=
=
b
a
k
kk
badxxgxf
0
, (1.18)

Страницы