ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
где
() ()
∫
=
b
a
kнk
dxxxfa
,
ψ
, (1.19)
() ()
∫
=
b
a
kнk
dxxxgb
,
ψ
. (1.20)
Эта формула называется обобщенной формулой замкнутости.
Следствие. Если система
(
)
{
}
x
k,н
ψ
замкнута и
(
)
2
Lxf
∈
, то ряд Фурье
(
)
xf
в
системе
()
{
}
x
k,н
ψ
можно почленно интегрировать по любому измеримому множеству
[]
b,aE ⊂ , т.е.
() ()
∫
∑
∫
∞
=
=
E
0k
E
k,нk
dxxdxxf
ψβ
. (1.21)
Определение 11. Система функций
(
)
{
}
x
k,н
ψ
, заданных на отрезке
[
]
b,a и
принадлежащих
2
L называется полной, если в
2
L не существуют отличной от нуля
функции, ортогональной ко всем функциям
(
)
{
}
x
k,н
ψ
.
Теорема. Для того, чтобы ортонормальная система
(
)
{
}
x
k,н
ψ
была полна, необ-
ходимо и достаточно, чтобы она была замкнута.
Определение 12. Пусть на отрезке
[
]
ba, задана положительная непрерывная
функция
()
x
μ
. Система функций
(
)
{
}
x
k
ϕ
, заданная на отрезке
[]
ba,
называется ор-
тогональной (первое условие ортогональности) на этом отрезке с весом
()
x
μ
, если
() ()()
∫
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
b
a
2
k
nk
.nkесли,0
;nkесли,
dxxxx
ϕ
μϕϕ
(1.22)
Из ортогональности системы
(
)
{
}
x
k
ϕ
с весом
(
)
x
μ
следует ортогональность
системы
() () ()
xxx
kk
ϕμ
ψ
= . Отметим, что в этом случае
kk
ψ
ϕ
=
.
Определение 13. Все нули ортогонального многочлена
)(x
k
ψ
действительны,
различны и расположены в интервале
(
)
ba, - второе условие ортогональности.
Определение 14. Система
{
}
nn
ϕ
ϕ
,...,
1
=
Φ
называется линейно независимой,
если
0C
n
1j
jj
=
∑
=
ϕ
, (1.23)
только тогда, когда все
0C
j
= .
Важным аппаратом многих исследований является ортогонализация заданной
системы элементов гильбертова пространства. Если задана линейно независимая сис-
тема элементов
{
}
nn
ϕ
ϕ
,...,
1
=Φ , можно построить ортогональную линейно независи-
мую систему
{}
nn
ψ
ψ
,...,
1
=Ψ элементов вида
∑
=
=
j
i
ijij
b
1
ϕ
ψ
, n,...,1
j
=
, (1.24)
где
1b
ii
= .
Совокупность соотношений (1.24) при
n
j
≤
можно представить в виде
nnn
B
Φ
ψ
=
, (1.25)
где
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
