ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
.......
...01bb
...001b
...0001
B
3231
21
n
, (1.26)
и
n
Ψ ,
n
Φ являются вектор-столбцами из соответствующих элементов. В то же время,
перенося все
i
ψ
из правой части в левую, получим
nnn
A Ψ=Φ ,
где
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
.......
...01aa
...001a
...0001
A
3231
21
n
; (1.27)
матрицу
n
B
иногда называют матрицей ортогонализации. Так как
1Bdet
n
=
, то пре-
образование, задаваемое матрицей
n
B , является невырожденным и переводит линей-
но независимую систему элементов
n
Φ
в линейно независимую систему
n
Ψ
.
В силу линейной независимости системы функций
n
Φ
отсюда следует, что
1
nn
AB
−
= .
При построении ортогональных многочленов в качестве элементов системы
функций
j
Φ
берутся функции
1j
x,x,1
−
и производится ортогонализация по описан-
ной выше процедуре. Получаемые многочлены
()
∑
−
=
−−
+=
1j
1i
1i
ji
1j
j
xbxx
ψ
(1.28)
называются ортогональными многочленами, соответствующими весу
()
x
μ
и отрезку
ортогональности
[]
ba, . Иногда ортогональными многочленами, соответствующими
весу
()
x
μ
, называют многочлены
(
)
(
)
xxg
jjj
ψ
α
=
, в которых величины
j
α
подбира-
ются из каких-либо дополнительных соображений.
Ответ на вопрос, каким образом определяется весовая функция ортогональных
полиномов, дает решение дифференциального уравнения Пирсона [53]:
2
210
10
xqxqq
xpp
y
'y
++
+
=
, (1.29)
в правой части которого все коэффициенты действительны.
Вид решения этого уравнения и область существования зависят от многочленов
()
xppxA
10
+= ; (1.30)
()
2
210
xqxqqxB
+
+= . (1.31)
Рассмотрим решения уравнения (1.29) в зависимости от коэффициентов много-
членов (1.30) и (1.31) и выделим те из них, которые на всей связной области своего
существования могут быть весовой функцией, и, следовательно, могут определять не-
которую систему ортогональных многочленов, а именно, те системы, которые будут
использоваться при последующем анализе.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
