Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

21
би (1, 0)
()
()
xP
0,1
k
; Якоби (2, 0)
(
)
(
)
xP
0,2
k
; Якоби (0, 1)
(
)
(
)
xP
1,0
k
; Якоби (0, 2)
(
)
(
)
xP
2,0
k
;
Якоби (-0,5, -0,5) (Чебышева 1-ого рода)
(
)
(
)
(
)
xTxP
k
5,0,5,0
k
=
−−
; Якоби (0,5, 0,5) (Чебы-
шева 2-ого рода)
()
() ()
xUxP
k
5,0,5,0
k
= , а также широко применяемые в прикладном ана-
лизе ортогональные полиномы Дирихле 1
(
)
xD
k
и Дирихле 2
()
xDir
k
. Следует отме-
тить, что ортогональные полиномы Дирихле не относятся к классическим полиномам.
Вид ортогональных полиномов представлен в Приложении 1.
Общие представления Родрига для ортогональных базисов Сонина-Лагерра и
Якоби соответственно имеют вид:
()
()
()
()
k
xkx
k
exex
!k
1
xL
−+−
=
ααα
; (1.37)
()
()
()
()()()()
()
[
]
()
k
k
2
k
k
,
k
x1x1x1x1x1
2!k
1
xP −+−+−
−
=
−−
βαβα
βα
. (1.38)
Явные выражения многочленов представлены в таблице 1.1.
При проведении аналитических преобразований с использованием ортогональ-
ных многочленов более удобным является представление в виде конечного ряда, по-
лучаемого проведением операции дифференцирования с помощью формулы Лейбни-
ца [5] к выражению (1.36). В общем случае представления (1.37) и (1.38) в виде ко-
нечного ряда имеют вид [53]:
()
()
(
)
∑
=
−
+
−
=
k
0s
s
sk
kk
!s
x
CxL
α
α
; (1.39)
()
()
()()
(
)
(
)
()()
∑
=
−
+++−+
+−
++++
=
k
0s
ssk
s
k
k
,
k
1s1sk
1x1xC
2!k
1k1k
xP
βΓαΓ
βΓαΓ
βα
. (1.40)
Форма представления ортогональных многочленов в виде конечного ряда явля-
ется более удобной и наглядной для анализа и проведения различных операций над
ними, в частности, операций интегрирования и дифференцирования. Однако такие
выражения для ортогональных многочленов обладают существенным недостатком
при реализации на ЭВМ: невозможность вычисления многочлена высокого порядка
из-за необходимости вычисления
комбинаторного числа сочетаний.
Форма представления ортогональных полиномов в виде конечного ряда пред-
ставлена в таблице 1.1.
Указанный недостаток может быть исправлен использованием рекуррентных
соотношений. Общие выражения для рекуррентных соотношений рассматриваемых
ортогональных базисов представлены ниже [53]:
()
()
()
()
()
()
(
)
()
()
()
xL
1k
k
xL
1k
x1k2
xL
1kk1k
ααα
α
α
−+
+
+
−
+
−
+
+
=
; (1.41)
()
()
()()
[
]
(
)
()( )( )
()
()
()()( )
()( )( )
()
()
.xP
k21k1k
2k2kk
xP
k21k1k2
1k2xk22k2
xP
,
1k
,
k
22
,
1k
βα
βαβα
βαβα
βαβα
βαβα
β
α
β
α
β
α
β
α
−
+
++++++
+++++
−
−
++++++
+
+
+
−
+
+
++
+
+
=
(1.42)
Применение рекуррентных соотношений (1.41) и (1.42) позволяет резко сни-
зить как временные затраты, так и ресурсные, исследовать ортогональные полиномы
высоких порядков и их свойства.

Страницы