Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

20
Пусть многочлен
()
xB не имеет нулей, т. е. 0q
2
=
, 0q
1
≠
. Тогда без наруше-
ния общности можно считать
0q
0
=
, так как это достигается линейным преобразова-
нием независимого переменного, а уравнение (1.29) примет вид:
β
α
−=
xy
'y
, (1.32)
где
α
и
β
- некоторые постоянные.
Его решение
()
x
1
excxy
βα
μ
−
== (1.33)
будет весовой функцией на полусегменте
[
)
∞
,0 при условиях 0c
1
> , 1−>
α
, 0>
β
.
Многочлены, ортогональные с весом (1.9) и
1
=
β
, можно рассматривать как
обобщенные многочлены Сонина-Лагерра [6, 53].
Пусть многочлен
()
xB имеет два действительных и различных нуля. Тогда
уравнение Пирсона можно представить в виде
()()
xbaxbxaxq
xpp
y
'y
2
10
−
−
−
=
−−
+
=
α
β
, (1.34)
где
α
и
β
- некоторые постоянные, а ba
<
.
Решение уравнения (1.34)
() ( )( )
βα
μ
axxbcxy
2
−−== (1.35)
определено на интервале
()
b,a и весовой функцией может быть только при условиях
0c
2
>
, 1−>
α
, 1−>
β
. Линейным преобразованием функция (1.35) сводится к весо-
вой функции многочленов Якоби.
Легко видеть, что при тех же коэффициентах уравнение Пирсона имеет реше-
ния и на интервалах
(
)
a,∞
−
и
()
∞
,b
, но полученные решения не могут служить ве-
совыми функциями [53].
Ортогональные многочлены полученных весовых функций, а именно Якоби и
Сонина-Лагерра, относятся к числу классических ортогональных многочленов.
Заметим, при параметрах
0qq
21
=
=
, 0q
0
≠
решением уравнения (1.29) явля-
ется весовая функция многочленов Эрмита, которые также относятся к числу класси-
ческих.
Для классических ортогональных многочленов имеет место весьма важное
представление через весовую функцию, которое называется обобщенной формулой
Родрига [6, 53].
Если весовая функция
()
xh на интервале ортогональности удовлетворяет урав-
нению (1.29), то функция
()
()
()
()
()
[]
()
n
n
n
xBx
x
1
x
μ
μ
ψ
=
(1.36)
есть многочлен степени не выше
n .
В дальнейшем при анализе будут использоваться системы ортогональных мно-
гочленов Сонина-Лагерра
()
()
xL
k
α
(1.33) при
1
=
β
и Якоби
)
()
xP
,
k
βα
(1.35) при зада-
нии некоторых частных параметров, а именно: Сонина-Лагерра (0) (Лагерра)
()
() ()
xLxL
k
0
k
=
; Сонина-Лагерра (1)
)
(
)
xL
1
k
; Сонина-Лагерра (2)
()
()
xL
2
k
; Якоби (-0,5, 0)
()
()
xP
0,5,0
k
−
; Якоби (0,5, 0)
()
()
xP
0,5,0
k
; Якоби (0, 0) (Лежандра)
)
() ()
xLegxP
k
0,0
k
= ; Яко-

Страницы