Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

26
2. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Цель работы:
исследование свойств ортогональных функций и определение их
основных характеристик.
2.1. Теоретические основы лабораторной работы
При решении значительного количества прикладных задач наиболее часто
применяются ортогональные функции, определенные на интервале
[
)
∞,0 [6, 21]. Как
правило, они получаются из соответствующих ортогональных полиномов путем
введения замены:
γτ
c
ae1
x
−
−= , (2.1)
где
γ
– параметр масштаба; с - целое число, определяемое для каждого
ортогонального базиса; a – параметр, который зависит от заданного сегмента
ортогональности (см. таблицу 2.1).
С учетом введенной замены (2.1) выражение для определения квадрата нормы
(1.7) примет следующий вид:
()()()()
∫
∞
−−−−
⎩
⎨
⎧
≠
=
=−−−−
0
2
k
ccc
m
c
k
.mk,0
;mk,
ae1dae1ae1ae1
ψ
μψψ
γτγτγτγτ
(2.2)
Проделав ряд преобразований, получим:
()()()
∫
∞
−−−−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
=−−−
0
2
k
ccc
m
c
k
.mk,0
;mk,
ac
deae1ae1ae1
γ
ψ
τμψψ
γτγτγτγτ
(2.3)
Выражение (2.3) показывает, что ортогональные полиномы
(
)
x
k
ψ
преобразуются в ортогональные функции:
()
()()
2
c
cc
kf,k
eae1ae1,
γτ
γτγτ
μψγτ
ψ
−
−−
−−= , (2.4)
определенные на интервале
[
)
∞,0 с весом
(
)
1,
=
γ
τ
и нормой
γ
ψ
ψ
ac
2
k
2
f,k
=
. (2.5)
Ортогональные функции
k - ого порядка в различных базисах и их основные
характеристики представлены в таблице 2.1, а вид – в Приложении 3. По аналогии с
импульсной переходной характеристикой можно ввести понятие длительности
ортогональной функции, применяемое в различных приложениях [21]:
()
()
τγτψτ
d,
0
f,k
2
и,k
∫
∞
=
; (2.6)
()
()
∫
∞
=
0
2
f,k
4
и,k
d,
τγτψτ
. (2.7)
В дальнейшем при рассмотрении только ортогональных функций индекс f
будет опущен.

Страницы