Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

28
В качестве примера рассмотрим ортогональные полиномы )x(D
k
на интервале
[]
1,0
с весом 1
)
x
(
=
μ
()( )
∑
=
−
+
++
−−=
k
0s
2
s
sk
1s
1sk
s
kk
x11CC)x(D (2.8)
и преобразуем их в ортогональные функции на интервале
[
)
∞
,0
.
Отметим, что значение ортогональных полиномов в «нуле» и норма [21]
1)0(D
k
= , (2.9)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
+
==
∫
.km,0
;km,
1k
1
dx)x()x(D)x(DD
1
0
mk
2
k
μ
(2.10)
В соответствии с (2.1) для преобразования интервала
[
]
1,0 в диапазон
[
)
∞
,0
введем замену переменных
ατ
2
e1
x
−
−
=
. С учетом введенной замены выражение
(2.10) примет вид:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
+
=−−
∫
∞
−−−
.km,0
;km,
1k
1
d)(e)e1(D)e1(D2
0
22
m
2
k
ττμα
ατατατ
(2.11)
Соотношение (2.11) показывает, что ортогональные полиномы преобразуются в
функции, ортогональные на интервале
[
)
∞
,0 с весом
(
)
1
=
τ
μ
.
()
()
∑
=
+−−+
++
−−
−=−=
k
0s
1ssk1s
1sk
s
k
2
kk
e)1(CCe1De),(D
ατατατ
ατ
. (2.12)
Квадрат нормы и длительность с учетом (2.5) и (2.10) имеет вид:
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
+
=
∫
∞
,km,0
;km,
1k2
1
d)(),(D),(D
0
mk
α
ττματατ
(2.13)
()
()
()
()
α
ταττ
1k
1
d,D
k
o
k
2
и,k
+
−
==
∫
∞
. (2.14)
Способ представления ортогональных полиномов и функций в виде
комбинаторных сумм (см. таблицу 1.1 и таблицу 2.1) позволяет использовать
унифицированный подход к вычислению конечных и бесконечных сумм путем их
сведения к одномерным и кратным интегралам, как правило, контурным.
Одним из таких унифицированных подходов является метод производящих
функций, являющийся одним из основных аналитических подходов
получения
комбинаторных тождеств [11]. Производящие функции, либо производящие
интегралы, могут быть использованы для изучения свойств систем многочленов,
включая нахождение явных формул, получение и решение рекуррентных
соотношений (дифференциальных, интегральных и дифференциально-разностных
уравнений), связывающих эти последовательности чисел, получение
асимптотических формул для производимых чисел (функций) [11].
Однако при решении задач с определением и изучением свойств
ортогональных многочленов, рассматриваемых нами, воспользуемся общим
унифицируемым подходом – методом коэффициентов.

Страницы