Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

29
Опишем необходимую последовательность действий при реализации данного
метода.
На первом этапе вычислений нами в простейшем виде реализуется
фундаментальная идея об интегральном представлении решения, удовлетворяющего
заданным краевым условиям. На заключительном этапе, в случае представления
решения с помощью контурных интегралов, используется теория вычетов одного или
нескольких комплексных переменных [11, 52]. Главным отличием данного метода
вычисления
комбинаторных сумм от известных ранее подходов является создание
единой стандартизированной процедуры получения интегральных представлений
вычисляемых сумм с полным обоснованием данного метода, как и метода
производящих функций, с помощью теории одномерных и кратных вычетов [52]. В
случае формальных рядов вводится понятие коэффициентов
Coe
f
, непосредственно
связанное с понятием вычета из теории аналитических функций и пригодное для
использования различных функций, включая степенные. Связь с теорией вычетов
позволила выписать свойства
Coe
f
, аналогичные свойствам вычета, и
унифицировать схему метода коэффициентов, независимо от того, какие ряды:
сходящиеся либо формальные - используется при вычислениях [11].
Для работы с
Coe
f
и проведения различных операций над ними существует
правила, записанные в табличном виде и приведенные в приложении Б. Там же
приведены интегральные представления комбинаторных чисел [11].
Результат использования метода коэффициентов можно увидеть на примере
получения соотношения для ортогональных функций Якоби:
()
()()
k
0,
k
1,0P −=
γ
α
, (2.15)
где
()
()
∑
=
+
++
−=
k
0s
s
s
sk
s
k
k
0,
1CC),0(P
α
α
α
γ
. (2.16)
Последовательность действий, реализующая метод коэффициентов с
использованием правил работы над
Coe
f
представлена ниже.
() ( )
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
()
() ()
=−⋅+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−⋅+=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−⋅+=
=−⋅+⋅+=−
−−−
+
−−
+
=
−−−−
+
=
−−−
++
−−
=
+
++
∑
∑∑
k
k
1
k
v
k
1
k
v
k
0s
1s
k
u
s
1
k
v
s
k
0s
1s
sk
v
1s
k
u
k
0s
s
s
sk
s
k
v1vv1Coef
v
v1
1vv1Coef
uu1Coef
v
v1
vv1Coef
1vv1Coefuu1Coef1CC
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
() ( )
(
)
(
)
.1C1vv1Coef1
k
k
k
k
1k
k
v
k
−=−=+−=
+
+
−−−
+
α
α
α
α
В справедливости полученного соотношения несложно убедиться [21, 32, 35,
36]. Для других ортогональных функций подход аналогичен.
Разумеется, с использованием данного подхода можно реализовать
аналитические преобразования более сложных комбинаторных сумм и выражений. В
качестве демонстрации сказанному представим аналитические преобразования с
использованием
Coe
f
при получении соотношения также для ортогональных
функций Якоби для общности:

Страницы