ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
47
Приведенные правила, по которым из элементов множества
1n
A
−
и
k
A строятся
числа Стирлинга, позволяют выполнить аналогичные построения из элементов раз-
личных последовательностей (даже не обязательно числовых). Возьмем последова-
тельность элементов некоторого кольца
{
}
∞
=0i
i
μ
- базу. С применением членов базы
строят разложения:
()
∞==+
∏
∑
−
=
=
,1n,xBx
1k
0i
n
0k
kn
ki
μ
, (4.56)
()
∞==
−
∑
∏
∞
=
=
,0k,xA
x1
1
x
kn
nn
k
k
0i
i
k
μ
. (4.57)
В свою очередь, коэффициенты в суммах известны:
1)
−
n
k
B элементарные симметрические функции;
2)
−
n
k
A суммы однородных произведений.
Иначе обобщенные числа Стирлинга 1-ого и 2-ого рода соответственно.
Воспользуемся выражениями (4.56) и (4.57) для построения производящей
функции
B
- формы распределения, которой является следующее выражение с нор-
мированными коэффициентами [10]:
()
()
0,xB
1
x
k
1n
0k
1
n
n
0k
kn
k
k
k
>=
+
+
∏∏
∑
−
=
−
=
α
α
α
, (4.58)
Таким образом
()
()
∏∏
∑
−
=
−
=
+
+
=
1k
0s
s
s
1
k
k
0s
sk
s
1
x
xB
α
α
; (4.59)
()
()
∏∏
∑
−
=
=
+
+
=
k
1k
0s
s
s
k
0s
sk
s
1
x
xB
α
α
. (4.60)
С учетом выражений (4.47) и (4.48) запишем:
()
1x
2,k
k
0s
sk
s
j'WxB
−=
=
=
∑
ω
; (4.61)
()
()
()
∏∏
−
=
+
−
=
k
1k
0s
s
s
2,k
1
1
j'W
α
α
ω
. (4.62)
Соотношения (4.61) и (4.62) позволяют записать результат в виде:
()
∏
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
1k
0s
2,k
1
j
2
1
sc
1
j
2
1
sc
j
2
1
kc
j
2
1
kc
jWj
2
1
kc
ω
γ
α
ω
γ
α
ωγ
α
ωγ
α
ωωγ
α
; (4.63)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
