Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Прохоров С.А - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

54
Это семейство характеризуется интегралом:
()()()
()
⎩
⎨
⎧
=
≠
=
∫
∞
.nkесли,
;nkесли,0
d,,
2
k
0
nk
αψ
ττματψατψ
(5.14)
Так как ряд сходится в интервале
[
)
∞
,0 , то коэффициенты разложения
k
β
в со-
ответствии с [21] определяются выражением:
()
() ( )()
∫
∞
=
0
kx
2
k
k
d,
1
ττματψτρ
αψ
β
. (5.15)
В качестве системы базисных функций применяются ортогональные функции
Лагерра, Дирихле, Лежандра, Якоби и т. д. Выбор системы базисных функций зави-
сит, в основном, от возможности представления корреляционной функции минималь-
ным числом членов разложения для типовых моделей, удобством в работе.
Следует подчеркнуть, что на практике приходится ограничиваться конечным
числом ряда (5.13)
() ( )
∑
=
=
m
0k
kk
2
x
a
^
,K
ατψβστ
. (5.16)
Это приводит к появлению методической погрешности, значение которой зави-
сит как от свойств процесса, так и способа оценки параметров модели. С учетом
свойств ортогональных функций определим относительную методическую погреш-
ность аппроксимации в виде
()
()()
∫
∑
∞
=
−=
0
2
x
m
0k
2
k
2
k
d
1
ττμτρ
αψβ
δ
. (5.17)
Из (5.17) видно, что значение относительной погрешности аппроксимации
δ
зависит от значений
{
}
m,...0k
k
=
β
, т.е. вида корреляционной функции (см. выражение
5.15), значения параметра масштаба
α
и числа членов разложения ряда (5.16) m .
Задавшись видом модели корреляционной функции, в первую очередь необхо-
димо найти аналитические выражения коэффициентов разложения
{}
m,...0k
k
=
β
. Как по-
казали исследования при прочих равных условиях численные значения методических
погрешностей больше у колебательных моделей КФ [21]. Для решения этой задачи
воспользуемся частотным представлением ортогональных функций (см. лаборатор-
ную работу 4).
Так, например, НКФ
()
τωτρ
τλ
0,5
cos
−
= e
x
, воспользовавшись преобразованием
Эйлера, представим в виде
()
() ()
[]
τωλτωλ
τρ
oo
jj
x,5
ee
2
1
+−−−
+= , 0>
τ
. (5.18)
Подставив выражение (5.18) в выражение (5.15), получим для ортогональных
функций, у которых
)
1=
τ
μ
,
()
()
() ()
[]
∫
∞
+−−−
+=
0
jj
k
2
k
k,5
dee,
2
1
oo
τατψ
αψ
β
τωλτωλ
. (5.19)
С учетом выражения (4.1), выражение (5.19) преобразуем к виду

Страницы