Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

27
10. Формула Байеса
В прикладных задачах возможна следующая ситуация. На начальной
стадии изучения какого - либо явления исследователь, обладающий
определенной квалификацией и опытом подобных прошлых работ, имеет
некоторое представление о свойствах объекта исследования. В это
представление входят эмпирические данные, полученные ранее при
аналогичных исследованиях. В ходе испытания объекта появляется новая
информация в виде совокупности эмпирических
данных, которые
изменяют представление (вероятностное) о свойствах объекта. Происходит
пересмотр и переоценка априорного представления.
Предположим, что до эксперимента о его условиях можно высказать
ряд гипотез
n
HHH ,,,
21
K , несовместных и образующих полную группу:
jiïðèHHHHH
jin
≠
∅
=
Ω
=
+++ ,;
21
K .
Вероятности гипотез до эксперимента (априорные вероятности) известны:
∑
=
=
n
k
kn
HPèHPHPHP
1
21
1)()(,),(),( K
Эти события (гипотезы) непосредственно не наблюдаемы, но можно
наблюдать некоторое событие А, с ними связанное, для которого известны
условные вероятности ),,2,1()/( nkHAP
k
K
=
. Вероятности гипотез
кажутся недостаточно надежными, поэтому для их уточнения проводим
эксперимент, в результате которого появилось событие А. Требуется
пересмотреть вероятности гипотез с учетом этого факта, т.е. найти
«апостериорные» вероятности гипотез.
Вероятность совместного наступления событий
k
AH
на основании
правила умножения вероятности равна
)/()()/()()(
kkkk
HAPHPAHPAPAHP
⋅
=
⋅
= .
Отсюда следует
)(
)/()(
)/(
AP
HAPHP
AHP
kk
k
⋅
= .
Заменяя Р(А) по формуле полной вероятности, получим
)/()(
)/()(
)/(
1
i
n
i
i
kk
k
HAPHP
HAPHP
AHP
⋅
⋅
=
∑
=
(k = 1, 2, …, n).
Эта формула называется
формулой Байеса. Она решает поставленную
задачу – позволяет перейти от априорной информации, формализованной в
виде априорного распределения, к апостериорной путем добавления
эмпирических данных (распределением вероятностей называют
соответствие между событиями и их вероятностями). Этот процесс может

Страницы