Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

33
где вероятности исходов отдельных испытаний
nikriAÐÐ
rr
KK ,2,1,,2,1)),((
=
=
= .
Удовлетворяют условиям
∑
=
==≥
k
r
rr
PkrÐ
1
1,,2,1,0 K .
Определение. Последовательностью независимых испытаний называется
конечная вероятностная схема, в которой вероятности элементарных
событий определяются формулой (12.1), как произведение вероятностей
исходов отдельных испытаний. Ее называют еще схемой независимых
испытаний или полиномиальной схемой.
Частный случай схемы независимых испытаний, в которой каждое
испытание может закончиться только одним из двух
исходов, называют
схемой Бернулли.
Обычно эти исходы называют «успехом» и «неудачей», а их вероятности
обозначают p и q = 1 – р ( 10
≤
≤
p
) соответственно. «Успехи» и
«неудачи» для краткости обозначают символами 1 и 0 соответственно. В
схеме Бернулли с n испытаниями имеем
{}
ω
=Ω , ),,,(
21 n
xxx K=
ω
,
{
}
nix
i
,,2,1,1,0 K
=
∈
.
Очевидно, что число «успехов» (или число 1) в цепочке
),,,(
21 n
xxx K=
ω
равно сумме
n
xxx +++ K
21
. Элементарные вероятности, определенные
формулой для схемы Бернулли, имеют вид
)(
2121
)(
nn
xxxnxxx
qpP
+++−+++
=
KK
ω
;
),,,(
21 n
xxx K
=
ω
.
Для схемы Бернулли часто представляет интерес событие
m
B = {в n испытаниях наступило ровно m успехов}.
В этом случае элементарная вероятность определяется формулой
mnm
qpP
−
=)(
ω
при любом
m
B
∈
ω
.
Число всех таких исходов совпадает с числом m мест для «1» в цепочке
ω
,
оставшиеся места заполняются «0», и определяются формулой
m
n
C .
Следовательно, приходим к формуле
nmqpCBPmP
mnmm
nmn
K,1,0,)()(
=
=
=
−
,
где р – вероятность успеха в отдельном испытании.
События
m
B (m = 0, 1, …, n), состоящие в различном числе появлений
события А в n испытаниях, несовместны и образуют полную группу.
Следовательно,
1)(
11
00
=+++++==
−−
=
−
=
∑∑
nmnmm
n
n
n
n
n
m
mnmm
n
n
m
n
pqpCpqCqqpCmP KK .
Правая часть последнего равенства представляет собой члены разложения
бинома
1)(
11
=
+
+
+
+
+=+
−− nmnmm
n
n
n
nn
pqpCpqCqpq KK .

Страницы