Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

34
Для полиномиальной схемы вероятность ),,(
21 kn
mmmP K того, что в
испытаниях исход «1» наступит m
1
раз, исход «2» – m
2
раза, …, исход «k» –
m
k
раз, определяется равенством
k
m
k
mm
k
kn
ppp
mmm
n
mmmP K
K
K
21
21
21
21
!!!
!
),,( = ,
где p
k
– вероятность исхода m в отдельном испытании (m = 1, 2, …, k);
k
mmm K,,
21
– целые, неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству
nmmm
k
=
+
+
+
K
21
.
Приведем доказательство этой формулы. Пусть В = {среди n испытаний
исход «1» появился m
1
раз, …, исход «k» – m
k
раз}. Для любого
элементарного события
B
∈
ω
имеем
k
m
k
mm
pppP K
21
21
)(
=
ω
.
Число элементарных событий, входящих в В, несложно подсчитать. Исход
«1» на m
1
местах цепочки ),,,(
21 k
xxx K=
ω
можно расположить
1
m
n
C
способами; исход «2» на оставшихся (n – m
1
) местах можно расположить
2
1
m
mn
C
−
способами и т. д. Таким образом, искомое число элементарных
событий, входящих в
В, равно
!!!
!
21
11
2
1
1
k
m
mmn
m
mn
m
n
mmm
n
CCÑ
k
k
K
K
K
=
−
−−−−
.
Следовательно,
k
m
k
mm
k
B
ppp
mmm
n
PBP
K
K
21
21
21
!!!
!
)()(
∑
∈
==
ω
ω
.
Равенство доказано.
Формула Бернулли получается из полиномиальной формулы, если
положить
qppppk
=
−
=
=
= 1,,2
21
.
Когда вероятность появления события
А меняется от испытания к
испытанию, при вычислении вероятностей возможного числа наступления
события
А в n независимых испытаниях применяется так называемая
производящая функция
)(x
n
ϕ
:
)())(()(
2211
xpqxpqxpqx
nnn
+
+
+= K
ϕ
.
После перемножения биномов и приведения подобных членов
коэффициент при
x
m
представляет собой вероятность того, что событие А
появится ровно
m раз в n независимых испытаниях.
В заключение отметим, что биномиальное распределение широко
используется при анализе качества продукции, при описании
функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и
так далее. Полиномиальное распределение применяется в
социологических, экономико-социологических, медицинских
исследованиях.

Страницы