ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39
13. Предельные теоремы в схеме Бернулли
При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся
затруднительными. Иногда удается заменить эту формулу какой - либо
приближенной асимптотической формулой.
Теорема1. (Пуассона)
Если ∞→n и 0→
p
так, что
∞
<
<
→
λ
λ
0,np , то
λ
λ
λ
−−
=→= e
k
PqpCkP
k
k
knkk
nn
!
)()(
при любом постоянном k = 0, 1, 2, …
Доказательство.
Положив
n
nn
λ
=
, представим вероятность P
n
(k) в виде
.1
1
1
2
1
1
11
!
1
!
)1()1(
)(
k
n
n
n
k
n
kn
n
k
n
n
nn
k
nnnk
nnk
knnn
kP
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−
=
λλλ
λλ
K
K
Переходя в этом равенстве к пределу при
∞
→n , получим
λ
λ
λ
−
∞→
== e
k
PkP
k
kn
n
!
)()(lim
Таким образом, при больших n и малых p можно пользоваться
приближенной формулой
npe
k
kP
n
k
n
n
n
=≈
−
λ
λ
λ
,
!
)(.
Замечание. При доказательстве теоремы Пуассона использовали
замечательный предел
e
n
n
n
=+
∞→
)
1
1(lim .
Пример 1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих
независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение
времени Т, равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут
ровно 3 элемента.
Решение. По условию задачи n = 1000, p = 0,002, k = 3, 2=
=
np
n
λ
.
Применим формулу Пуассона:
.18,013534,0
3
4
!3
2
)3(
2
3
1000
=⋅=≈
−
eP
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
