Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

58
выгоду, а не достижение – как проигрыш или убыток. И выгоду и
убыток можно выразить числами (например, суммы денег в рублях).
Таким образом, каждому исходу эксперимента X
x
∈
можно
поставить в соответствие некоторую численную оценку, то есть
осуществить отображение
ϕ
пространства исходов эксперимента Х на
множество вещественных чисел R:
.:
R
X
→
ϕ
Это отображение дает вещественную функцию )(
x
ϕ
, определенную на Х, с
которой можно оперировать как со случайной величиной и, в частности,
определять ее математическое ожидание. Пусть элементам
n
xxx ,,,
21
K множества Х соответствуют значения функции
)(,),(),(
21 n
xxx
ϕ
ϕ
ϕ
K , вероятности которых будут те же, что и
вероятности случайных величин
n
xxx ,,,
21
K
. Следовательно,
математическое ожидание функции от случайной величины может быть
найдено по формулам математического ожидания случайной величины
путем замены х на )(
x
ϕ
. Для непрерывной случайной величины
∫
+∞
∞−
= dxxfxxM )()())((
ϕϕ
.
Для дискретной случайной величины
)()())((
1
xpxxM
Xx
∑
∈
⋅=
ϕϕ
.
Пример. Вероятность того, что выпущенный заводом прибор окажется
бракованным, равна р. Какова средняя прибыль, приходящаяся на один
прибор, если а – себестоимость, b – цена продукции.
Решение. Прибыль, приходящаяся на один прибор равна (b – a), ей
соответствует вероятность того, что прибор не бракован (1 – р). Обозначая
среднюю прибыль через Q, находим
Q = (b – a)(1 – p) – ap = b(1 – p) – a.
Если рассматривать математическое ожидание как средний выигрыш при
большом числе экспериментов, то считается, что эксперимент проводить
целесообразно, если 0)( ≥
x
M
.
Другая интерпретация математического ожидания относится к пари.
Предположим, что некоторое событие может произойти с вероятностью р.
Заключение пари предполагает, что один из его участников согласен
заплатить сумму b, если событие не произойдет, при условии, что другой
участник заплатит ему сумму а, если событие произойдет. То есть первый
участник получает сумму
а с вероятностью р и выплачивает сумму b с
вероятностью 1 – р. Его средний выигрыш
Q = ap – b(1 – p).
Пари считается справедливым, если средний выигрыш будет равен нулю,
то есть при условии

Страницы