ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
78
Свойства нормального распределения
Свойство 1. Функция плотности нормального распределения в точке х = а
имеет максимум, равный
πσ
2
1
)( =af
.
Доказательство. Находим первую производную
2
2
2
)(
3
2
)(
)(
σ
πσ
ax
e
ax
xf
−
−
−
−=
′
,
так как при х < а значение 0)( >
′
xf , а при х > а значение 0)( <
′
xf , то при
х = а функция f(x) имеет максимум.
Свойство 2. График функции плотности f(x) симметричен относительно
прямой, проходящей через точку а: х = а.
Из этого свойства следует равенство для нормально распределенной
случайной величины моды, медианы и математического ожидания.
Свойство 3. Кривая распределения имеет две точки перегиба с
координатами
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
e
a
πσ
σ
2
1
;
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
e
a
πσ
σ
2
1
;
.
Доказательство. Находим вторую производную
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
′′
−
−
1
)(
2
1
)(
2
2
2
)(
3
2
2
σ
πσ
σ
ax
exf
ax
.
При
σ
+= a
x
и
σ
−
=
a
x
вторая производная обращается в нуль, а при
переходе через эти точки она меняет знак, то есть это точки перегиба.
Свойство 4. Нечетные центральные моменты нормального распределения
равны нулю.
Доказательство. Рассмотрим центральный момент )(xM
k
.
2
)(
2
1
)()()(
2
2
)(
2
2
2
dtet
dtdx
atx
t
ax
dxeaxdxxfaxxM
t
k
k
ax
kk
k
∫
∫∫
∞+
∞−
−
∞+
∞−
−
−
∞+
∞−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+=
=
−
=
=−=−=
π
σ
σ
σ
σ
πσ
σ
Интегрируя это выражение по частям, имеем:
).()1(
2
)1(
2
)1(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
22
xMkdtetkdtet
k
xM
k
t
k
k
t
k
k
k −
+∞
∞−
−
−
−
+∞
∞−
−
−
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
=
∫∫
σ
π
σ
σ
π
σ
То есть
).()1()(
2
2
xMkxM
kk −
−
=
σ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
