Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

87
[]
[]
.
)(
)()(
1
)()(
1
)())((
2
2
2
)(
2
)(
2
εε
ε
ε
εε
xD
dxxfxMx
dxxfxMxdxxfxMxP
xMxxMx
∫
∫∫
∞+
∞−
>−>−
=−≤
≤−≤=>−
Что и требовалось доказать (в случае дискретного признака доказательство
проводится аналогично с заменой f(x) dx вероятностями Р
k
, а интегралов –
соответствующими суммами).
Утверждение, содержащееся в неравенстве Чебышева, опирается
только на значение дисперсии, не используя сведения о конкретном виде
закона распределения, поэтому дает лишь грубые оценки сверху для
вероятностей событий вида
[
]
2
)(
ε
>
−
xMx .
Например, если положить
ε
= 3
σ
, то используя неравенство Чебышева,
получим
()
()
)(.
9
1
3
))((
2
2
2
xDxMxP ==≤>−
σ
σ
σ
ε
.
Если полагать, что Х подчиняется нормальному закону распределения, то
значение этой же вероятности, вычисленное с помощью таблиц равно
0,0027, что в 40 раз меньше ее оценки, полученной на основании
неравенства Чебышева. В то же время следует иметь в виду, что
вероятности рассматриваемых событий не могут превышать значений,
вычисленных по неравенству Чебышева ни
при каком законе
распределения.
Замечание. Если в неравенстве Чебышева положить
У = Х – М(Х),
то
D(X) = MY
2
и это неравенство примет вид
2
2
)(
ε
ε
MY
YP <> .
Пример 1. Для правильной организации сборки узла необходимо оценить
вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля
допуска не более чем на 2 мм. Известно, что середина поля допуска
совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых
деталей, а среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм.

Страницы