Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 5.2 Рис. 5.3 Рис. 5.4
Разностью векторов b и a называется такой вектор d , который в сумме с вектором a дает вектор b (рис. 5.4).
Операции произведения вектора на число и сложения векторов называются линейными.
Выражение вида
cba
321
α+α+α , где
321
,,
α
α
α – числа, называется линейной комбинацией векторов ba, и c . Ес-
ли
0
321
=α+α+α cba выполняется только при 0
2
3
2
2
2
1
=α+α+α , то вектора
ba,
и
c называются линейно независимы-
ми, в противном случае – линейно зависимыми.
3. Свойства линейных операций. Для любых векторов
a , b и c и любых действительных чисел k и
λ
справедли-
вы следующие соотношения:
1)
;abba +=+ 2)
(
)
(
)
cbacba ++=++ ;
3)
aa =+ 0 ; 4)
(
)
0=−+ aa ;
5)
()
bkakbak +=+ ;
6)
(
)
aakak
λ
+
=
λ
+
;
7)
()()
akak λ=λ ;
8)
aa
=
⋅
1 .
Если в треугольнике OAB (рис. 5.5) точка C делит сторону
A
B в отношении ,: µ=ABAC
(
)
]1,0[
∈
µ
, то
OBOAОС µ+µ−= )1( .
4. Базисными векторами (базисом) на плоскости называется любая пара неколлинеарных векторов
этой плоскости, взятая в определенном порядке. Базисом в пространстве называется любая тройка не-
компланарных векторов, взятая в определенном порядке. Базис, составленный из единичных, взаимно
перпендикулярных векторов, называется ортонормированным.
Любой вектор a плоскости может быть представлен единственным образом в виде
jaiaa
21
+= , (5.1)
где векторы i и j – базисные векторы этой плоскости;
21
, aa – числа.
Любой вектор
b пространства единственным образом может быть представлен в виде
kbjbibb
321
++⋅= , (5.2)
где векторы
i
, j , k – базисные векторы пространства;
321
,, bbb – числа.
Очевидно, что базисные вектора линейно независимы.
Равенства (5.1) и (5.2) называются разложением векторов
a и b по базисным векторам, а коэффициенты разложения
этих векторов по базису – координатами векторов в данном базисе. Это записывается так:
{}
{
}
32121
,,,, bbbbaaa ==
.
5. Если в пространстве задан некоторый базис и
{
}
321
,, aaaa
=
,
{
}
321
,, bbbb = – два вектора в этом базисе, то:
1)
{}
332211
,, babababa +++=+ ;
2)
{}
321
,, aaaa λλλ=λ , λ – число;
3) Чтобы
ba = , необходимо и достаточно, чтобы
11
ba
=
,
22
ba
=
,
33
ba
=
;
4) Чтобы
ba // , необходимо и достаточно, чтобы
11
ab
λ
=
,
22
ab
λ
=
,
33
ab
λ
=
.
6. Системой координат называется совокупность точки (начала координат) и базиса. Прямые, проходящие через на-
чало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Декартовой называется система коор-
динат, в которой базисные векторы ортонормированные (взаимно перпендикулярные, единичной длины).
На рис. 6.1 – декартова система координат (ДСК) (О,
kji ,, ); ОX, ОY, OZ – координатные
оси:
1=== kji .
7. Радиус-вектором произвольной точки
пространства (рис. 6.1), содержащего ДСК, на-
зывается вектор
OA , начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке
A; его разложение по базису:
kzjyixOA
111
++= ,
111
,, zyx – координаты вектора OA .
Координатами точки
называют координаты радиус-вектора этой точки: A ),,(
111
zyx
(рис. 6.1).
Если заданы
),,(),,,(
222111
zyxBzyxA , то OA и OB – их радиус-векторы, вектор
{}
121212
;; zzyyxxOAOBAB −−−=−= .
a
b
abd −=
a
b
c
a
c
b
Рис. 5.5
В
С
a
b
c
А
О
О
i
Z
Y
X
A
j
k
Рис. 6.1

Страницы