Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

8. Пусть l – некоторая координатная ось на плоскости (рис. 6.2). Проекцией точки
A
на
координатную ось называют точку
1
A , расположенную на этой оси, при условии, что вектор
AA
1
перпендикулярен оси.
Проекцией вектора
ABa = на ось l называют число, абсолютная величина которого
равна
11
BA , где
1
A и
1
B – проекции точек
A
и
B
на ось. Значение проекции положитель-
но, если
11
BA сонаправлен с осью, и отрицательно, если противоположно направлен. Обо-
значение
AB
l
Пр .
Если направление оси задается вектором
e , то
ABAB
el
ПрПр =
.
Нетрудно убедиться, что
ϕ⋅= cosПр ABAB
l
, где
ϕ
– угол между вектором
A
B
и осью l .
Координаты вектора численно равны его проекциям на координатные оси.
9. Деление отрезка в заданном отношении. Дано:
),,(
111
zyxA , ),,(
222
zyxB и ),,( zyxM
лежат на одной прямой (рис. 6.3) и
∞<λ<λ= 0,MBAM .
Тогда
{
}
;,,
111
zzyyxxAM −−−=
{
}
;,,
222
zzyyxxMB −−−=
так как MBAM λ= ,
то
λ+=λ+
λ+=λ+
λ+=λ+
−λ=−
−λ=−
−λ=−
,)1(
;)1(
;)1(
или);(
);(
);(
21
21
21
21
21
21
zzz
yyy
xxx
zzzz
yyyy
xxxx
откуда координаты точки
M
:
λ+
λ
+
=
λ+
λ
+
=
λ+
λ+
=
1
;
1
;
1
212121
zz
z
yy
y
xx
x
.
10. Скалярным произведением
ba ⋅ векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на
косинус угла между ними:
(
)
ϕ⋅⋅= cos, baba .
Двум векторам ставится в соответствие скаляр (число).
()
abbaba
b
a
⋅⋅=⋅⋅= ПрПр, .
Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой
или они между собой перпендикулярны.
11. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1)
()()
abba ,, =
;
2)
()()
)(,),( baba λ=λ ;
3)
()
()
()
cbcacba ,,),( +=+ ;
4)
2
),( aaa =
.
Пусть
{
}
zyx
aaaa ,,=
;
{
}
zyx
bbbb ,,= в базисе
(
)
kji ,, или kajaiaa
zyx
++= , kbjbibb
zyx
++= . Тогда
zzyyxx
babababa ⋅+⋅+⋅=),(
;
222
),(
zyx
aaaaaa ++== .
222222
),(
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
ba
++++
++
==ϕ
.
12. Если вектор
{
}
zyx
aaaa ,,=
образует углы
α
, и
γ
соответственно с базисными векторами kji ,, , то
()
α= cos, iaia ,
()
β= cos, jaja ,
()
γ= cos, kaka .
Так как
1=== kji , то косинусы:
;cos
a
a
x
=α
;cos
a
a
y
=β
a
a
z
=γcos и называются направляющими косинуса-
ми вектора
a ;
{}
γ
β
α= cos,cos,cose – единичный вектор, сонаправленный с вектором a .
13. Расстояние между точками
),,(
111
zyxA и ),,(
222
zyxB равно
()()()
ABzzyyxx =−+−+−
2
12
2
12
2
12
.
B
1
A
1
B
a
α
A
l
Рис. 6.2
М
В
•
•
•
А
Рис. 6.3
a
b
ϕ

Страницы