Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 7. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. ПРЯМАЯ
НА ПЛОСКОСТИ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
1. Уравнением линии на плоскости
OXY
называется такое уравнение, которому:
1) удовлетворяют координаты
x
и y каждой точки этой линии;
2) не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Линия на плоскости может быть задана одним из следующих уравнений:
0),(),(),(
=
ϕ
=
=
yxFyxxfy
.
Простейшей линией на плоскости является прямая.
Определение. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором (в част-
ном случае он может принадлежать прямой).
2. Прямая на плоскости может быть задана:
1)
принадлежащей ей точкой и направляющим вектором;
2)
двумя принадлежащими ей точками;
3)
принадлежащей ей точкой и вектором, перпендикулярным к ней (нормальным вектором).
Если
},{
21
aaa = – направляющий вектор для прямой l , ),(
000
yxM – точка, принадлежащая этой прямой, а
),( yxM
– произвольная точка прямой
l , то вектора a и
{
}
000
, yyxxMM −−= – коллинеарны, а их координаты – пропорцио-
нальны:
2010
, ayyaxx λ=−λ=− . Этот факт записывается в виде:
2
0
1
0
a
yy
a
xx −
=
−
. (7.1)
Это уравнение, справедливое для любой точки
),( yxM
прямой l , называется каноническим уравнением прямой.
Если
},0{
2
aa = , то уравнение прямой:
0
xx = ; если }0,{
1
aa
=
, то уравнение прямой:
0
yy = .
Если
),(
000
yxM и ),(
111
yxM – точки, принадлежащие прямой l , то
{
}
010110
, xyxxMM −−=
– ее направляющий
вектор и
01
0
01
0
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
– уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Если вектор
};{ BAn =
перпендикулярен прямой l , т.е. является ее нормальным вектором, а ),(
000
yxM и произ-
вольная точка
),( yxM
принадлежат прямой l , то вектора n и
{
}
000
; yyxxMM −− перпендикулярны, а их скалярное
произведение равно нулю:
(
)
.0,
0
=MMn
В координатной форме
.0)()(
00
=−
+
−
yyBxxA (7.2)
Это уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
3. Уравнение (7.2), записанное в виде
0
=
+
+ CByAx
, где
00
ByAxC
−
−
=
, называется общим уравнением прямой на
плоскости. Вектор
};{ ABa −=
является направляющим, а
};{ BAn
=
– нормальным вектором данной прямой.
4. Пусть заданы две прямые l
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 и l
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0. Образуем систему:
−=+
−=+
.
;
222
111
CyBxA
CyBxA
(7.3)
Если ее главный определитель 0
22
11
≠=∆
BA
BA
(равносильно тому, что
2
1
2
1
B
B
A
A
≠
), то система имеет единственное
решение (
00
, yx ) – точка, принадлежащая и первой и второй прямым, точка пересечения этих прямых.
5. Угол между прямыми
1
l и
2
l равен наименьшему углу между их направляющими векторами };{
111
ABa
−
=
и
};{
222
ABa −= :
()
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
21
21
21
,
,cos
BABA
AABB
aa
aa
ll
+⋅+
+
=
⋅
=
∧
.
Если
0
2121
=+ BBAA , то прямые
1
l и
2
l перпендикулярны.
Если в системе (7.3)
0=∆ и 0
22
11
=
−
−
=∆
BC
BC
x
и 0
22
11
=
−
−
=∆
CA
CA
y
(равносильно тому, что
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
), то
система имеет бесконечное множество решений, а прямые
1
l и
2
l совпадают.

Страницы