Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6. Множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами, называется эллипсом.
Пусть в системе координат XOY (рис. 8.2) фокусы F
1
(–c, 0) и F
2
(c, 0) расположены на оси OX симметрично относи-
тельно начала координат:
),( yxM – точка, принадлежащая эллипсу, 2a – сумма расстояний точки
M
до фокусов; 2a >
2c. Тогда свойство точек эллипса можно записать в виде
aMFMF 2
21
=+ , или в координатной форме
aycxycx 2)()(
2222
=+−+++ . (8.1)
Это уравнение преобразуется к виду
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
,
222
cab −= , (8.2)
называемому каноническим уравнением эллипса.
Если
),(
111
yxM удовлетворяет уравнению (8.2), то она обладает основным свойством точек эллипса (8.1).
Исследование формы эллипса по уравнению (8.2).
1)
byax ≤≤ ; , все точки эллипса расположены в прямоугольнике размерами 2a × 2b;
2) эта линия симметрична относительно обеих координатных осей;
3) в первой четверти
),0(
1
bM и )0,(
2
aM – точки пересечения эллипса с осями координат (вершины эллипса), a, b –
полуоси эллипса, а
22
xa
a
b
y −=
, ax ≤≤0 : при возрастании
x
от 0 до a переменная y изменяется (убывает) от b до 0;
4) уравнению (8.2) соответствует линия, представленная на рис. 8.2.
При
ba = эллипс выраждается в окружность
222
ayx =+ .
7. Показателем, характеризующим форму кривых второго порядка, является эксцентриситет
a
c
=ε
, характеризую-
щий степень сжатия эллипса к координатным осям, для эллипса
1
<
ε
.
8. Множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух данных точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшее расстояние между фокусами называется гиперболой. В сис-
теме координат
XOY с фокусами )0,(
1
cF − и )0,(
2
cF каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
, (8.3)
где
222
acb −= , a2 – абсолютная величина разности расстояний любой точки гиперболы до фокусов.
Гипербола обладает следующими свойствами:
1)
ax ≥ или
∞<<∞−≥−≤ yaxax ,,
: все точки гиперболы расположены или левее прямой a
x
−
=
или правее
прямой
a
x
= ; в полосе a
x
a
<
<− точек эллипса нет;
2) гипербола симметрична относительно обеих координатных осей; ось
OX – действительная, OY – мнимая ось
гиперболы;
3) гипербола имеет две точки
)0,(
1
aM − и )0,(
2
aM пересечения с осью OX (вершины гиперболы);
4) в первой четверти
axax
a
b
y ≥−= ,
22
. При
∞
→
∞
→ y
x
;
5) при x
≫ a график гиперболы приближается (но не повторяет) к прямой x
a
b
y = , которая называется асимптотой
этой линии;
6) уравнению (8.3) соответствует линия, представленная на рис. 8.3.
Y
R
–R
–R О
R
X
Рис. 8.1 Рис. 8.2
b
a
–a
–b
F
1
F
2
О
М(х, у)
Y
X

Страницы