Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если
),,(
0000
zyxM и произвольная точка ),,( zyxM принадлежат плоскости Р, а
};;{ CBAN =
– перпендикулярный
к плоскости Р вектор (нормальный вектор), то векторы
N и MM
0
также перпендикулярны и их скалярное произведение
равно нулю:
(
)
0,
0
=MMN или 0)()()(
000
=
−
+−
+
−
zzCyyBxxA . (9.2)
Если обозначить
000
CzByAxD −
−
−= , то уравнение (9.2) запишется в виде уравнения (9.1), которое называют об-
щим уравнением плоскости в пространстве.
Если три точки
),,(
1111
zyxM , ),,(
2222
zyxM и ),,(
3333
zyxM принадлежат плоскости Р, ),,( zyxM – произвольная
точка этой плоскости, а
},,{ CBAN = – ее нормальный вектор, то справедливы условия равенства нулю скалярных про-
изведений:
(
)
0,
1
=MMN ;
(
)
0,
21
=MMN и
(
)
0,
1
=MMN или
=−+−+−
=−+−+−
=−+−+−
.0)()()(
;0)()()(
;0)()()(
131313
121212
111
zzCyyBxxA
zzCyyBxxA
zzCyyBxxA
(9.3)
Система (9.3) имеет ненулевое решение
()
CBA ,, , если определитель
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
. (9.4)
Уравнение (9.4) справедливо для всех точек ),,( zyxM , принадлежащих плоскости Р, т.е определяет саму плоскость.
5. Возможное расположение плоскостей
0:
11111
=
+
+
+
DzCyBxAP и 0:
22222
=++
+
DzCyBxAP определяется
взаимным расположением их нормальных векторов
},,{
1111
CBAN = и },,{
2222
CBAN = :
(
)
21
21
21
,
,cos
NN
NN
NN
⋅
=
∧
;
(
)
0,
2121
=⇔⊥ NNPP или 0
212121
=
++ CCBBAA ;
2121
|||| NNPP ⇔ или
21
AA
λ
=
,
21
BB λ= ,
21
CC
λ
=
(если и
21
DD λ= , то плоскости совпадают).
Плоскости не параллельны, что равносильно тому, что система
=+++
=+++
0
;0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
имеет бесконечное множе-
ство решений
),,( zyx
,
определяющих прямую линию в пространстве. Такой факт имеет место, если хотя бы один из оп-
ределителей
22
11
BA
BA
или
22
11
CA
CA
или
22
11
CB
CB
не равен нулю.
6. Если
),,(
0000
zyxM и произвольная точка ),,( zyxM принадлежат прямой l и },,{ cban
=
– ее направляющий вектор,
то
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
– канонические уравнения прямой в пространстве,
+⋅=
+⋅=
+⋅=
,
;
;
0
0
0
ztcz
ytby
xtax
∞
<
<
−
∞
t
–
параметрические уравнения прямой в пространстве.
Если
),,(
1111
zyxM , ),,(
2222
zyxM и произвольная точка ),,( zyxM принадлежат прямой l , то ее уравнения:
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
.
7. Углом между прямой l и плоскостью P (рис. 9.1) называется наименьший угол
(
ϕ ), образованный этой прямой и ее проекцией l
′
на плоскость P.
Если
},,{ CBAN =
– нормальный вектор плоскости P: Ax + By + Cz + D = 0, а
},,{ cban = – направляющий вектор прямой l:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
, то
(
)
Nn
nN
⋅
=
ϕ−
π
=ϕ
,
2
cossin
.
Прямая и плоскость параллельны, если
0=ϕ и
(
)
0, =nN
, т.е.
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
cCbBaA .
Рис. 9.1
Р
N
l
ϕ
n
l

Страницы