Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если
0=∆ , а 0≠∆
x
и (или)
0≠∆
y
(равносильно тому, что
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
≠=
), то система (7.3) не имеет решений, а
прямые
1
l и
2
l – параллельны.
6. Уравнения прямой на плоскости, имеющие явный геометрический смысл:
1)
Уравнение прямой в отрезках:
ba
b
y
a
x
и ;1=+
– величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных
осях (рис. 7.1);
2)
Нормальное уравнение прямой: 0sincos
=
−
α
+
α pyx , где }sin;{cos
α
α
=
n – единичный нормальный вектор
прямой;
p – расстояние от начала координат до прямой;
α
– наименьший угол, образованный вектором n с положи-
тельным направлением оси
OX (рис. 7.2);
3)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: bkxy
+
=
, где k – угловой коэффициент, численно равный тан-
генсу угла наклона прямой и оси
OX (рис. 7.3).
Рис. 7.1 Рис. 7.2 Рис. 7.3
7. Расстояние (
d
) от точки ),(
000
yxM до прямой
0:
=
+
+
CByAxl
определяется по формуле
22
00
BA
CByAx
d
+
++
= .
Лекция 8. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Линия, заданная уравнением
()
0, =yxF , называется линией (или кривой) n-го порядка (n = 1, 2, …), если уравне-
ние
()
0, =yxF представляет собой уравнение n-й степени относительно координат x и y.
2. Прямая на плоскости OXY является линией первого порядка.
3. Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
0
22
=+++++ FEyDxCyBxyAx
, где
0
222
≠++ CBA .
Выбор, определенным образом, системы координат позволяет упростить вид данного уравнения: в частности, ис-
ключить члены, содержащие произведение
y
x
⋅ ,
x
и y : 0
22
=
′
+
′
+
′
FyCxA .
4. В аналитической геометрии решаются две взаимно обратные задачи:
1) характеристические свойства линии выразить уравнением;
2) исследовать характеристические свойства линии по ее уравнению.
5. Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром (ха-
рактеристическое свойство окружности).
Пусть в системе координат OXY центр окружности находится в точке
),(
000
yxM , а ),( yxM – произвольная точка,
принадлежащая окружности. Тогда расстояние
const
0
== RMM . В координатной форме:
()()
Ryyxx =−+−
2
0
2
0
или
()()
2
2
0
2
0
Ryyxx =−+− . Это уравнение окружности.
Если M
0
совпадает с началом координат (перенести начало координат в точку M
0
), то
222
Ryx =+ – каноническое
уравнение окружности.
Если
),(
111
yxM удовлетворяет уравнению окружности:
22
1
2
1
Ryx =+ , то RRRyx ===+
22
1
2
1
, т.е. ),(
111
yxM
принадлежит окружности (обладает ее характеристическим свойством).
Обратная задача: имея уравнение
222
Ryx =+ , можно определить следующие характеристические свойства этой
линии:
1)
RyRx ≤≤ ,
, т.е. все точки окружности расположены в квадрате с размерами RR 22 × ;
2) эта линия симметрична относительно обеих координатных осей;
3) в первой четверти (координатной плоскости)
),0(
1
RM , )0,(
2
RM – точки пересечения этой линии с осями коор-
динат, а
22
xRy −= , Rx ≤≤0 : при возрастании
x
от 0 до R переменная y изменяется от R до 0.
4) уравнению
222
Ryx =+ соответствует линия, изображенная на рис. 8.1.
a
X
Y
О
l
b
l
X
Y
B
n
p
α
pOB =
О
О
α
Y
b
X
α= tgk

Страницы