Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Бесконечное множество, эквивалентное множеству
N , называется счетным (
Z
и Q – счетные, R – несчетное).
16. Абсолютная величина числа и ее свойства.
<−
≥
=
.0,
;0,
xx
xx
x
.
1)
0≥x .
2)
xx −=
.
3)
xxx ≤≤− .
4) Если
0>a , то ax ≤ и axa ≤≤
−
равносильны.
5) Для любых
x
и y
yxyx +≤+
.
6) Для любых
x
и y yxyx −≥− .
Лекция 11. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СПОСОБЫ
ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА, КЛАССИФИКАЦИЯ
1. Пусть имеется некоторое множество действительных чисел X. Если каждому числу
x
из множества X соответст-
вует (по некоторому правилу) одно действительное число
y , то величина y называется функцией величины
x
, опреде-
ленной на множестве X (говорят также, что на множестве X задана функция
y от x). Множество X называют областью
определения функции, переменную
x
– независимой переменной или аргументом, переменную y – зависимой перемен-
ной (или функцией). Множество
Υ всех значений, которые может принимать переменная y , называют множеством зна-
чений функции. Для обозначения функции
y от
x
обычно используют букву
f
и пишут )(xfy = . Наряду с этим при-
нимаются и другие обозначения, например,
)(xFy = , )(xyy
=
и т.д.
2. Графиком функции
)(xfy
=
в прямоугольной декартовой системе координат называется множество точек
))(;( xfxM плоскости OXY , абсциссы которых равны значениям независимой переменной
x
, а ординаты – соответствую-
щим значениям функции (рис. 11.1).
Помимо графического способа задания функции, существуют еще аналитический (с по-
мощью формул), табличный (например, соотношение: день года – продолжительность свето-
вой части дня) и словесный или описательный (например, у каждого человека свой отпечаток
пальца).
3. Если функция
)(xfy
=
задана аналитически и если нет каких-либо дополнительных
условий, то областью определения такой функции является множество всех значений аргу-
мента x, при которых формула
)(xfy
=
имеет смысл. Такую область определения называют
также областью существования функции.
Пример:
2
1 xy −= , 11:
≤
≤
−
xΧ .
4. Функция называется явной, если она задана уравнением, разрешенным относительно
зависимой переменной y. Явная функция y от x задается формулой
)(xfy = , которая уста-
навливает, какие вычислительные операции нужно выполнить над числом
x
, чтобы полу-
чить значение числа
y .
Пример: уравнение линейной функции y = kx + b, где k, b – известные числа (чтобы найти значение y надо значение
x умножить на число k и прибавить число b).
5. Функция y от x называется неявной, если она задана уравнением вида F(x, y) = 0, которое не разрешено относи-
тельно переменной y. При этом каждому значению x = x
0
из некоторого множества ставится в соответствие такое значе-
ние y = y
0
, что F(x
0
, y
0
) = 0.
Пример: уравнение полуокружности, радиуса 2:
4
22
=+ yx , 0≥y , задает неявную зависимость y от x. В то же
время можно определить, что
0
=
x соответствует
2
=
y
, 2=x соответствует 2=y и т.д., но нельзя, например, найти
значение y для x = 3.
6. Если на множестве X определена функция y = f(x), а Y – множество ее значений, то обратной по отношению к
функции y = f(x) называется такая функция x = g(y), которая удовлетворяет следующим двум условиям:
1) эта функция определена на множестве Y;
2) эта функция ставит в соответствие каждому числу y ∈ Y такое единственное x ∈ X, что f(x) = y.
Пример. Для
3
xy = обратная функция
3
yx = ; здесь X:
∞
<
<
−
∞
x
и Y: ∞
<
<
−
∞ y .
0
Y
)(xfy =
)(xf
M(x, f(x))
x
X
Рис. 11.1

Страницы