Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Например, основной период функции
x6sin равен 3
π
.
12. Функция y = f(x) называется четной (нечетной), если для любого x из области определения выполняется условие
f(–x) = f(x) (
)()( xfxf −=− ). Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида.
Примеры:
2
xy = – четная,
3
xy = – нечетная,
2
xxy −= – общего вида.
13. Области определения четной и нечетной функций симметричны относительно начала координат. График четной
функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат.
14. Функция f(x) называется ограниченной на отрезке (интервале), если существуют такие значения m и
M
, что все
значения f(x) удовлетворяют неравенству
Mxfm
<
< )( . Если mxf ≥)( , то число m называется точной нижней грани-
цей f(x); если
Mxf ≤)( , то
M
– точная верхняя граница.
15. Пусть дана функция
)(xfy
=
, Χx ∈ с множеством значений
Υ
. Если каждому
Υy ∈
по определенному закону
ставится в соответствие действительное значение переменной
z
, то
z
является функцией от переменной y : )( yFz
=
и
сложной функцией от переменной
x
:
()
)(xfFz = или суперпозицией (наложением) функций
F
и
f
.
16. Простейшими (основными) элементарными функциями называются: постоянная функция y = const, степенная
функция
α=
α
(xy
– любое число), показательная функция
)10( ≠<= aay
x
, логарифмическая функция
)10( log ≠<= axy
a
, тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x и обратные тригонометрические функции arcsin x,
arccos
x, arctg x, arcctg x.
17. Функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических операций над простейшими
элементарными функциями, а также их суперпозиций, образуют класс элементарных функций.
Примеры элементарных функций:
xxxf sin)(
+
= ,
x
xf 2arctg)( = , )tg(log)(
2
3
xxf = .
18. Элементарная функция вида
nn
nn
n
axaxaxaxP ++++=
−
−
1
1
10
...)( , где
n
aaan ...,, , ;0
10
≥ – любые действитель-
ные числа (коэффициенты), называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени n.
19. Отношение двух целых рациональных функций
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
m
n
=
называется дробно-рациональной функцией.
Целые и дробные рациональные функции образуют класс рациональных функций.
20. Функция, полученная путем конечного числа суперпозиций и арифметических действий над степенными функ-
циями с целыми и дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией.
Примеры иррациональных функций:
xxf +=1)( ,
3
/)1()( xxxxf ++= .
21. Всякая функция, не являющаяся ни рациональной, ни иррациональной, называется трансцендентной функцией.
Примеры:
x
eyxxyxy =+== ,ctg ,2sin
2
.
Лекция 12. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, n, … поставлено в соответствие вещественное число
a
n
, то множество вещественных чисел а
1
, а
2
, …, a
n
, … называется числовой последовательностью или просто последова-
тельностью. Числа а
1
, а
2
, …, a
n
, … называются членами (элементами) последовательности, a
n
– общим элементом, а n –
его номером.
2. Числовая последовательность {a
n
} определена, если задано соотношение между номером члена последовательно-
сти n и его значением a
n
, т.е. a
n
= f(n).
3. Последовательность {a
n
} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m), такое, что любой
элемент a
n
этой последовательности удовлетворяет неравенству )( maMa
nn
>
<
. При выполнении обоих условий после-
довательность называется ограниченной:
Mam
n
<
< ; m и
M
– точные границы, если Mam
n
≤≤ .
Примеры: {n
2
} – ограничена снизу:
2
1 n≤ ; {–n} – ограничена сверху: 1
−
≤
−
n :
n
1
– ограниченная 1
1
0 ≤<
n
.
4. Последовательность {a
n
} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует
номер N, такой, что при n > N (для всех элементов последовательности с номерами, большими N) выполняется неравенст-
во
Aa
n
> .
5. Последовательность
{}
n
α называется бесконечно малой, если для любого малого положительного числа
ε
суще-
ствует номер N, такой, что при n > N выполняется неравенство ε<α
n
.
6. Если {a
n
} – бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность
{}
n
a1 – бесконечно малая. Если все элементы бесконечно малой последовательности
{
}
n
α отличны от нуля, то
{
}
n
a1 –
бесконечно большая последовательность.

Страницы