Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Говоря об обратной функции, часто используют стандартные обозначения, понимая под x независимую переменную,
а под y – функцию. В этом случае для записи обратной функции вместо x = g(y) пишут формально
)(xgy = , заменив
x
на
y , а y на
x
. Так, функция
3
yx = обратная для функции
3
xy = , но можно употреблять и запись
3
xy = .
Графики прямой и обратной функции симметричны относительно биссектрисы (общей) первого и третьего коорди-
натных углов (рис. 11.2).
Рис. 11.2
7. Функция называется строго возрастающей (убывающей) на интервале ),( ba , если для любых
1
x и
2
x , принадле-
жащих этому интервалу и удовлетворяющих условию
21
xx
<
, выполняется неравенство )()(
21
xfxf < ( )()(
21
xfxf > ).
8. Если
)(
11
xfy = и )(
22
xfy = , то разность
12
xxx
−
=
∆
называется приращением аргумента в точке
1
x (вообще
говоря
x∆ может быть как положительным, так и отрицательным числом), а разность )()(
12
xfxfy
−
=∆ или
)()(
11
xfxxf −∆+ – приращением функции в точке
1
x , которое соответствует приращению аргумента x
∆
. При таком
обозначении
)(xfy = является строго возрастающей (убывающей), если 0>
∆
⋅
∆
xy ( 0<∆⋅
∆
xy ).
Пример. 1)
bkxy += – линейная функция.
xkbkxbxxky ∆⋅
=
+−+∆+=∆ )()( ;
2
xkxy ∆⋅=∆⋅∆ : при 0>k эта функция строго возрастающая, при 0
<
k – строго
убывающая.
2)
;
2
xy = )2(2)(
222
xxxxxxxxxy ∆+∆=∆+∆⋅=−∆+=∆ ;
=
∆
⋅
∆
xy
)2(
2
xxx ∆+∆= . Очевидно, что знак выражения xx
∆
+
2 определяется знаком величины
x
( x∆ можно выбрать таким ма-
лым, что оно не повлияет на знак
x2 ). Таким образом при 0
<
x
2
xy = строго убывает, при 0>x – строго возрастает.
9. Строго возрастающие и строго убывающие функции относятся к классу строго монотонных функций. Свойство
функции y = f(x) являться строго монотонной на интервале (a, b) является необходимым и достаточным условием существо-
вания обратной функции x = g(y) на этом интервале.
10. Функция
)(xf достигает в точке
0
x строго локального минимума (максимума), если существует 0>
δ
такое,
что при всех
x∆ , удовлетворяющих неравенству δ<∆< x0 , выполняется условие
0)()(
00
>
−
∆+=
∆
xfxxfy ( 0)()(
00
<
−
∆
+
=
∆
xfxxfy ).
Точки локального максимума или минимума называются точками экстремума.
Если в точке
0
xx = при любом достаточно малом приращении аргумента 0
≠
∆
x соответствующее приращение
)()(
00
xfxxfy −∆+=∆ отрицательно (положительно), то точка
0
xx
=
является точкой строгого локального максимума
(минимума).
На рис. 11.3 точка
1
xx = – точка локального максимума,
2
xx
=
– точка локального минимума.
Рис. 11.3
11. Функция )(xfy = , определенная на множестве
Χ
, называется периодической, если существует такое 0
≠
Τ , что
для всех
Χx ∈ числа Τx − и Τx + также принадлежат
Χ
и выполняется равенство )()()( ΤxfxfΤxf
+
==− . В этом
случае число
Τ называется периодом функции )(xf ; наименьшее из всевозможных
0
ΤΤ = называется основным перио-
дом.
0
Y
3
xy =
Х
0
Y
3
xy =
Х
X
Y
0
(x)
x
1
x
2

Страницы