Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

7. Если
{}
n
α и
{}
n
β – бесконечно малые последовательности, а }{
n
c – ограниченная последовательность, то
{}
nn
β±α ,
{}
nn
β⋅α ,
{}
nn
c⋅α ,
{
}
nn
c⋅
β
– бесконечно малые последовательности.
8. Интервал
()
ε+ε− AA , называется ε -окрестностью числа А. Если
(
)
ε
+
ε
−
∈
AAa
n
, , то
ε<− Aa
n
.
9. Число А называется пределом числовой последовательности {a
n
}, если для любого, сколь угодно малого числа
0>ε можно указать такой номер N, зависящий от
ε
, что при всех n > N выполняется неравенство ε<− Aa
n
. Это запи-
сывается так:
∞→→ nAa
n
при , либо Aa
n
=lim (всегда
∞
→n ).
Геометрический смысл предела числовой последовательности: начиная с некоторого номера N, все члены последо-
вательности с n > N попадают в
ε
-окрестность числа А.
10. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; не имеющая предела – расходящейся.
11. Если
aa
n
=lim , то последовательность
{
}
{
}
aa
nn
−
=
α
– бесконечно малая, так как для любого 0>
ε
существует
номер N, что при n > N
ε<−=α aa
nn
. Поэтому любой элемент сходящейся последовательности {a
n
}, имеющий преде-
лом число а, можно представить в виде
nnn
aа
α
α
+= , – элемент бесконечно малой последовательности.
12. Бесконечно малая последовательность имеет своим пределом число а = 0; бесконечно большая последователь-
ность – расходящаяся (условно считают, что
)(lim lim
−
∞
=
∞
=
nn
aa ).
13. Сходящиеся последовательности обладают свойствами:
1)
Имеют только один предел.
2)
Ограничены.
3)
Сумма (разность) сходящихся последовательностей {a
n
} и {b
n
} есть сходящаяся последовательность, предел ко-
торой равен сумме (разности) пределов последовательностей {a
n
} и {b
n
}.
4)
Произведение сходящихся последовательностей {a
n
} и {b
n
} есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен произведению пределов последовательностей {a
n
} и {b
n
}.
5)
Частное двух сходящихся последовательностей {a
n
} и {b
n
} при условии, что
0lim ≠
∞→
n
n
b
, есть сходящаяся после-
довательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {a
n
} и {b
n
}. Если
0lim
=
∞→
n
n
b
, а
0lim ≠=
∞→
Aa
n
n
, то
n
n
b
a
– расходящаяся последовательность; если же и
0lim
=
∞→
n
n
a
, то последовательность
n
n
b
a
требует
специального исследования (на предмет сходимости).
6)
Если элементы сходящихся последовательностей {a
n
} и {b
n
}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют нера-
венству
nn
ba ≤ , то их пределы удовлетворяют неравенству
n
n
n
n
ba
∞→∞→
≤
limlim .
14.
Теорема существования предела. Монотонная ограниченная последовательность сходится (ограниченность мо-
нотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости).
15. Последовательность
+
n
n
1
1
является монотонно возрастающей и ограниченной сверху и
e
n
n
n
=
+
∞→
1
1lim
(трансцендентное число, примерно равное 2,7).
Если при
∞
→∞→ )(nfn , то справедливо e
nf
nf
n
=
+
∞→
)(
)(
1
1lim
.
16. Примеры нахождения пределов числовых последовательностей.
1)
1
3
1
510
1
lim
3
510
lim
2
32
3
3
=
−
−+
=
+
−+
→∝→∝
n
nn
nn
nn
nn
.
2)
()
=
++
++−+
=
−+
→∝→∝
nnn
nnnn
n
nn
nn
23
2323
lim
23
lim
.13
13
2
1
2
3
1
1
lim2
23
23
lim
2
−=
+
=
++
+
=
++
−+
=
→∝→∝
n
n
nnn
nn
nn
3)
=
−
+=
−
+−
=
−
+
⋅
−
⋅
−
→∝→∝→∝
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
3
2
4
4
2
33
2
4
1lim
2
42
lim
2
2
lim

Страницы