Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

10. Теорема существования предела. Если для трех функций y = f(x), y = g(x) и y = h(x) при любых значениях аргу-
мента
а
х
≠ выполнены неравенства )()()( xhxgxf
≤
≤ и при этом существуют конечные пределы Axf
ax
=
→
)(lim и
Axh
ax
=
→
)(lim
, то
Axg
ax
=
→
)(lim
.
11. Пусть
)( и )( хх βα – две бесконечно малые функции при
a
x
→
. Функция )(х
α
называется бесконечно малой
более высокого порядка, чем
)(хβ , при
a
x
→
, если 0
)(
)(
lim =
β
α
→
x
x
ax
. В этом случае пишут
()
)(0)( xx β=α при
a
x
→
.
Функции
)( и )( хх βα
называются бесконечно малыми одного порядка, если
0
)(
)(
lim ≠=
β
α
→
A
x
x
ax
(А – число). При А = 1
)( и )( хх βα называются эквивалентными бесконечно малыми (пишут )(х
α
~ )(x
β
при a
x
→ ).
12. Две бесконечно малые при a
x
→ функции )( и )( хх
β
α
эквивалентны тогда и только тогда, когда
()
)(0)( )( ххх α=β−α при a
x
→ .
13. Первый замечательный предел
.1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
14. Следствия: sinkx ~ kx, arcsinkx ~ kx, tgkx ~ kx, arctgkx ~ kx, 1 – cos kx ~
(
)
2
2
kx при 0→x .
15. При нахождении пределов, содержащих отношение бесконечно малых функций, эти функции можно заменять на
им эквивалентные.
16. Примеры:
1)
1
1
3
lim
)1)(2(
)3)(2(
lim
23
65
lim
22
2
2
2
−=
−
−
=
−−
−−
=
+−
+−
→→→
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
.
2)
3
1
1
2
3
lim
1
23
lim =
+
+
=
+
+
∞→∞→
x
x
x
x
xx
.
3)
()
0
2
2
lim2lim =
++
−+
=−+
∞→∞→
xx
xx
xx
xx
.
4)
2
1
2
2
sin
2
1
lim
2
sin2
lim
cos1
lim
2
0
2
2
0
2
0
=
==
−
→→→
x
x
x
x
x
x
xxx
.
5)
e
y
x
y
y
x
x
=
+=+
∞→→
1
1lim)1(lim
1
0
.
6)
2
1
32
lim
)1(
)32)(1(
32
1
1
1lim
1
lim
−
−−
−
+−
−+−
∞→
−
∞→
==
+
−=
+
∞→
ee
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
.
Лекция 14. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Функция y = f(x), заданная на множестве Х, называется непрерывной в точке Хх ∈
0
, если функция имеет в этой
точке конечный предел и этот предел равен значению функции в этой точке:
).()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
2. Функция
y = f(x) непрерывна в точке х
0
тогда и только тогда, когда
()
0)()(limlim
00
00
=
−∆+
=
∆
→∆→∆
xfxxfy
xx
, другими
словами, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
3. Пример. Функция
y = x
2
непрерывна при всех х
(
)
<
∝
∝
<
−
x , так как
()
2
0
2
0
2
0
2 yxxxxxy ∆+∆⋅=−∆+=∆ ;
.0lim
0
=∆
→∆
y
x
4. Пример.
<−
≥
==
.0 ,
;0 ,
xx
xx
xy
При
х > 0
0lim ,
0
=∆∆=∆
→∆
yxy
x
.
При
х < 0 0lim ,
0
=
∆
∆−=∆
→∆
yxy
x
.
То есть исследуемая функция является непрерывной при всех
х.

Страницы