Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. Графиком непрерывной функции является непрерывная линия; ее можно начертить без отрыва карандаша от бу-
маги.
6. Если функция непрерывна в каждой точке множества, то она непрерывна на этом множестве.
7. Точка
х = х
0
, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва. Точка разрыва х = х
0
, в ко-
торой существуют конечные односторонние пределы, называется точкой разрыва первого рода; все остальные точки раз-
рыва называются точками разрыва второго рода.
Разность односторонних пределов
)0()0(
00
−
−
+
=∆ xfxf называется скачком функции в точке х = х
0
. Если скачок
функции в точке
х
0
равен нулю, то такая точка разрыва (первого рода) называется точкой устранимого разрыва.
К точкам разрыва второго рода относятся точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует.
8. Сумма, разность, произведение двух непрерывных функций, а также частное от деления одной непрерывной
функции на другую (не принимающую нулевое значение) являются непрерывными функциями.
9. Сложная функция, составленная из непрерывных функций (суперпозиция непрерывных функций), является не-
прерывной функцией.
10. Непрерывная в точке
х = х
0
функция непрерывна и в ее некоторой окрестности: δ<−
0
хх .
11. Если
y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она:
1)
ограничена на этом отрезке: Mxf ≤)( ;
2)
принимает на этом отрезке свое наибольшее
[]
)(max
,
xfM
bax∈
=
и наименьшее
[]
)(min
,
xfm
bax∈
=
значения;
3)
принимает на этом отрезке любое значение из отрезка [m, M].
12. Наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке [
a, b] достигается либо в точке локального экстремума,
либо на концах отрезка (в одной из точек
a или b).
13. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
14. Производной функции
y = f(x) в некоторой точке называется предел отношения приращения функции в этой точ-
ке к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (предполагается, что этот предел существу-
ет). Используются обозначения:
)( ),( xyxf
′′
,
x
xfxxf
xf
x
∆
−
∆
+
=
′
→∆
)()(
lim)(
00
0
0
.
15. Производная функции, принимающей при всех
х постоянное значение, равна нулю.
16. Односторонние производные в точке
х = х
0
.
Правая производная:
.
)()(
lim)0(
00
0
0
0
x
xfxxf
xf
x
x
∆
−
∆
+
=+
′
>∆
→∆
Левая производная:
.
)()(
lim)0(
00
0
0
0
x
xfxxf
xf
x
x
∆
−
∆
+
=−
′
<∆
→∆
Равенство односторонних производных в точке
0
xx
=
равносильно существованию производной в этой точке, нера-
венство – отсутствию.
17. Пример.
xy = .
При
х
0
= 0 1lim)0(
0
0
=
∆
∆
=+
′
>∆
→∆
x
x
y
x
x
; .1lim)0(
0
0
−=
∆
∆
−
=−
′
<∆
→∆
x
x
y
x
x
Односторонние производные не равны,
xy = не имеет производной при 0
=
x .
18. Точка, в которой функция непрерывна и при этом левая производная не равна правой, называется угловой.
19. Примеры нахождения производных.
1)
y = kx;
kk
x
kxxxk
xy
xx
==
∆
−∆+
=
→∆→∆ 0
00
0
0
lim
)(
lim)(' .
2)
y = x
2
;
.2)2(lim
)(
lim)('
00
0
2
0
2
0
0
0
xxx
x
xxx
xy
xx
=∆+=
∆
−∆+
=
→∆→∆
3)
xy sin= ;
.coscos1
2
coslim
2
2
sin
lim
2
cos
2
sin2
1
lim
sin)sin(
lim)(
000
00
0
0
00
0
0
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
xy
xx
xx
=⋅=
∆
+⋅
∆
∆
=
=
∆
+
∆
∆
=
∆
−∆+
=
′
→∆→∆
→∆→∆

Страницы