Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 15. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ.
ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Если )(xf дифференцируется при a
x
= , то
xxxafy
∆
∆
α
+
∆
⋅
=∆ )()(' и
0lim
0
=
∆
→∆
y
x
,
т.е. дифференцируемость гарантирует непрерывность.
Обратное высказывание неверно, т.е. не всякая непрерывная функция дифференцируема, например,
xy = – непре-
рывная при всех
x
функция не имеет производную при 0
=
x .
2. Пусть функция
)(xfy = обратная для )( yx
ϕ
=
.
Примеры:
xy arcsin= , yx sin
=
; xy ln= ,
y
ex = .
Пусть
)( y
ϕ
– строго монотонная, дифференцируемая функция и 0)(
≠
ϕ
y . Тогда обратная функция
)(xfy
=
также
строго монотонная, дифференцируемая и
)(
1
)(
y
xf
ϕ
′
=
′
.
3. Пусть переменная
y является функцией от переменной u : )(ufy
=
, а u , в свою очередь, является функцией от
x
: )(xuu = , тогда
()
)()( xFxufy
=
= – сложная функция от переменной
x
. Если )(uf и )(xu дифференцируемы в точ-
ках
0
x и )(
00
xuu = , то
()
)()( xufxFy == также дифференцируема в точке
0
x и )()(
00
xuufy
u
′
⋅
=
.
4. Примеры:
1)
x
ay = , обратная функция yx
a
log= . Известно, что
()
ay
y
a
ln
1
log
⋅
=
′
, тогда
aaay
a
y
x
y
x
y
x
lnln
ln
1
1
'
1
⋅=⋅=
⋅
==
′
.
Таким образом:
()
aaa
xx
ln=
′
.
2)
xy arcsin= ; обратная функция yx sin= :
==
′
=
′
yy
x
cos
1
)(sin
1
)(arcsin
22
1
1
sin1
1
xy −
=
−
.
3)
xxy arcsin
2
arccos −
π
== ;
2
1
1
)(arcsin)(arccos
x
xx
−
−=
′
−=
′
.
4)
xy arctg= ; обратная функция yx tg= :
22
2
1
1
tg1
1
cos
)tg(
1
)arctg(
xy
y
y
x
+
=
+
==
′
=
′
.
5)
xxy arctg
2
arctg −
π
==
;
2
1
1
)arctg()arcctg(
x
xx
+
−=
′
−=
′
.
5. Правило дифференцирования сложной функции позволяет находить так называемые логарифмические производ-
ные.
Пусть
()
)(ln xyu = ; тогда
)(
)(
xy
xy
u
x
′
=
′
, откуда
() () ()()()
⋅=
′
xyxyxy ln .
Примеры использования логарифмической производной:
1)
Rxy ∈α=
α
, .
()
1
1
)ln(
−αααα
α=α⋅=
′
α=
′
x
x
xxxx .
2)
x
xy = , тогда xxy lnln ⋅= , 1ln
1
ln)(ln +=⋅+=
′
x
x
xxy .
()
)1(ln +=
′
=
′
xxxy
xx
.
3)
x
xy sin= ; x
x
y sinln
1
ln ⋅= .
+−=
′
⋅=
′
xx
x
x
x
xx
x
xy
xx
sin
cos
sinln
1
sinsinln
1
sin
2
.

Страницы