Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6. Справедливо утверждение, что производная элементарной функции также является элементарной функцией; ее
можно найти, используя изученные правила и таблицу производных простейших элементарных функций:
1) CC ,0)(
=
′
– постоянное число;
2)
1
)(
−αα
α=
′
xx
;
3)
a
x
x
a
ln
1
)(log =
′
;
4)
aaa
xx
ln)( =
′
;
5)
xx cos)(sin =
′
; 6) xx sin)(cos
−
=
′
;
7)
x
x
2
cos
1
)tg( =
′
; 8)
x
x
2
sin
1
)ctg( −=
′
;
9)
2
1
1
)(arcsin
x
x
−
=
′
; 10)
2
1
1
)(arccos
x
x
−
−=
′
;
11)
2
1
1
)arctg(
x
x
+
=
′
; 12)
2
1
1
)arcctgx(
x+
−=
′
.
Лекция 16. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
И ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ПРИМЕНЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1. Определение 1. Прямая линия, проходящая через две точки кривой )(xfy
=
, называется секущей (секущая АВ,
рис. 16.1).
2. Определение 2. Если при неограниченно близком приближении точки
В к неподвижной точке А (рис. 16.1) су-
ществует прямая
A
D , представляющая собой предельное положение секущей
A
B , то эта прямая называется касательной
к рассматриваемой кривой в точке
А.
Рис. 16.1
По определению производной
x
y
xf
x
∆
∆
=
′
→∆ 0
0
lim)( . На рис. 16.1:
BCxfxxfy =−∆+=∆ )()(
00
, ACx =∆ .
β=
∆
∆
tg
x
y
; при
α
∠
→β∠→∆ 0x и α→β tgtg (непрерывность xtg ).
Таким образом:
)(tglim
0
0
xf
x
y
x
′
=α=
∆
∆
→∆
.
3. Уравнение касательной в точке
))(,(
00
xfxA :
))(()(
000
xxxfxfy
−
′
=
−
.
4. Геометрический смысл производной: производная функции в точке
0
x численно равна тангенсу угла наклона (уг-
ловому коэффициенту) касательной, проведенной к графику этой функции в точке
))(,(
00
xfxA .
Если функция дифференцируемая, то
xxydyxxxyxdyyf
∆
′
=
∆
α
+
∆
′
=
∆
α
+=∆=∆ )(),()()(
00
.
На рис. 16.1 BDxDCdy =∆α= )(, .
5.
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке
0
x численно равен приращению ордина-
ты касательной, проведенной к графику функции в точке
(
)
)(,
00
xfxA .
касательная
A
B
f
(x)
α
(∆x)
dy
C
D
∆y
α
β
∆
x
x
0
+ ∆x
f
(x
0
+ ∆x) = y
0
+ ∆y
f
(x
0
) = y
0
x
0
секущая

Страницы