Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Значение функции )(xfy = в точке
x
можно представить в виде суммы многочлена Тейлора )(xT
n
и остаточного
члена
)(xR
n
, такого, что 0
)(
)(
lim
0
0
=
−
→
n
n
xx
xx
xR
, т.е. бесконечно малой величины более высокого порядка, чем
()
n
xx
0
− : )()()( xRxTxf
nn
+= .
Если существует
)(
)1(
xf
n+
, то
!)1(
))((
)(
1
0
+
−
=
+
n
xxcf
xR
n
n
, где точка c
x
=
расположена между
0
x и
x
.
11. Если
0
0
=x , то формула Тейлора называется формулой Маклорена:
)(
!
)0(
...
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
32
xRx
n
f
x
f
x
f
x
f
fxf
n
n
n
+++
′′′
+
′′
+
′
+=
.
Примеры:
1)
x
exf =)( . Имеем
()
x
n
x
ee =
)(
при любом n . При 0
=
x производные любого порядка равны 1, тогда
)(
!
...
!3!2
1
32
xR
n
xxx
xe
n
n
x
++++++= .
Можно показать, что
2)
)()1(...
432
)1ln(
1
432
xR
n
xxxx
xx
n
n
n
+−++−+−=+
+
.
3)
)(
!)12(
)1(...
!7!5!3
sin
12
12
12
753
xR
k
xxxx
xx
k
k
k
+
+
+
+
+
−++−+−= .
4)
)(
!2
)1(...
!6!4!2
1cos
2
2
2
642
xR
k
xxxx
x
k
k
k
+−++−+−= .
5)
)(
!
)1)...(1(
...
!2
)1(
!1
1)1(
2
xRx
n
n
xxx
n
n
+
+
−
α
−
αα
++
−
αα
+
α
+=+
α
,
где
α – вещественное число.
Если
n=α – целое число, то )1( +n -я производная равна нулю и последняя формула переходит в формулу бинома
Ньютона.
Лекция 17. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
Знание производной )(xf
′
функции )(xf часто позволяет делать заключение и о поведении самой функции )(xf .
1.
Теорема Ферма. Если дифференцируемая функция
)(xfy =
достигает в точ-
ке
0
x локального экстремума (максимума или минимума), то 0)(
0
=
′
xf
.
Пусть
x
∆
принимает как положительное, так и отрицательное значения. В точке
0
x локальный максимум, если
(
)
xxfxf
∆
+
>
00
)( ; в точке
1
x локальный минимум,
если
)()(
11
xxfxf
∆
+
<
. Касательные в
(
)
)(,
00
xfx и
()
)(,
11
xfx параллельны оси
OX (рис. 17.1).
Докажем теорему для точки
0
x .
Имеем 0)()(
00
<
−
∆
+
=
∆
xfxxfy .
Тогда
0lim
1
0
0
≥=
∆
∆
<∆
→∆
k
x
y
x
x
;
0lim
2
0
0
≤=
∆
∆
>∆
→∆
k
x
y
x
x
.
Так как
)(
0
xf
′
существует, то 0
21
== kk , т.е. 0)(
0
=
′
xf .
2.
Необходимое условие экстремума. Пусть
0
x – точка экстремума функции. Тогда в этой точке производная равна
нулю (теорема Ферма) или
не существует (например, xy = при 0
=
x ).
Правило. Экстремумы функции могут быть только в точках, где производная равна нулю или не существует (в усло-
виях непрерывности). Для функции
596
23
++−= xxxy 9123
2
+−=
′
xxy ; 0340
2
=+−⇒=
′
xxy ; 3;1
21
=
=
xx – в
этих точках может быть экстремум.
Y
X
f
(x)
x
0
x
1
0
Рис. 17.1

Страницы