Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ложный. Тогда точка
x
0
является точкой максимума (минимума), если при увеличении аргумента знак производной меня-
ется в этой точке с положительного на отрицательный (с отрицательного на положительный).
Пример.
324214
23
+++−= xxxy .
)4(
2
1
12244212
2
−
+−=++−=
′
xxxxy .
2
1
1
−=x и 4
2
=x – стационарные точки функции.
2
1
1
−=x – точка минимума; 4
2
=x – точка максимума.
10.
Второе достаточное условие экстремума. Пусть
)(xfy
=
, заданная на интервале ),( ba , дважды дифференци-
руема. Если в точке
),(
0
bax ∈ выполнены условия
(
)
0
0
=
′
xf ,
(
)
0
0
>
′
′
xf , то f(x) достигает в точке x
0
локального мини-
мума; если же
()
0
0
=
′
xf ,
()
0
0
<
′′
xf , то в этой точке функция достигает локального максимума.
Доказательство. Запишем формулу Тейлора для f(x) в окрестности точки x
0
при 1
=
n .
2
0000
)(
!2
)(
))(()()( xx
cf
xxxfxfxf −
′
′
+−
′
+=
.
Если
0)(
0
=
′
xf , то при xxx ∆+
=
0
xxcxx
cf
xfxxf ∆+<<∆
′
′
=−∆+
00
2
00
,
!2
)(
)()(
.
Независимо от знака
x∆ :
если
0)( >
′′
cf , то
()()
00
xfxxf >∆+ , т.е. x
0
– точка локального минимума;
если
0)( <
′′
cf , то )()(
00
xfxxf <
∆
+ , т.е. x
0
– точка локального максимума.
Здесь использовано условие сохранения знака производной в окрестности точки
!0)()(:
0
>
′′
⋅
′′
=
cfxfcx
Пример.
596
23
++−= xxxy .
);3)(1(39123
2
−−=+−=
′
xxxxy
3,1
21
== xx ;
126 −=
′′
xy ;
6)1( −=
′′
y ; 6)3( =
′′
y .
Точки
x
1
= 1 и x
2
= 3 являются точками экстремума; x
1
= 1 – точка максимума, x
2
= 3 – точка минимума.
Лекция 18. НАИМЕНЬШЕЕ И НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ. ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
1. Пусть )(xf непрерывна на ],[ ba , тогда она принимает на этом отрезке свое наименьшее и наибольшее значения.
Наибольшее и наименьшее значения функция может принимать или в точках экстремума, или на концах отрезка.
Алгоритм их нахождения таков:
1) Определяются критические точки функции.
2) Подсчитываются значения функции во всех критических точках и на концах отрезка.
3) Путем сравнения найденных значений выбираются наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
596
23
++−= xxxy
на отрезке [0, 5].
1)
)3)(1(39123
2
−−=+−=
′
xxxxy ; 3,1
21
=
= xx – критические точки.
2)
;5)0( =y 95961)1( =
+
+−=y ; 55275427)3(
=
+
+
−
=y ; 25545150125)5( =
+
+
−
=
y .
3) Наибольшее значение
25)5( =y ; наименьшее 5)3()0(
=
=
yy .
2. Графики возрастающей (убывающей) функции могут наглядно отличаться друг от друга.
0
2
1
−
4
0<
′
y
0
<
′
y
0>
′
y

Страницы