Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 18.1 Рис. 18.2
Различают выпуклые вверх и выпуклые вниз (вогнутые) графики функции.
3. Определение 1. Дуга
A
B
графика функции )(xf называется выпуклой вниз (вверх), если все ее точки располо-
жены над (под) касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 18.1 и 18.2).
4.
Достаточное условие выпуклости. Пусть в каждой точке некоторого интервала (а, b) вторая производная функ-
ции
)(xfy = положительна, тогда график функции на этом интервале направлен выпуклостью вниз. Если же в каждой
точке этого интервала вторая производная функции
)(xfy
=
отрицательна, то график функции на этом интервале на-
правлен выпуклостью вверх.
Доказательство. Пусть функция )(xfy = имеет в точке
(
)
)(,
00
xfx касательную: ))(()(
000
xxxfxfY
−
′
=−
( Yx, ) –
точки касательной. Запишем формулу Тейлора для
)(xf в окрестности точки
0
x при 1
=
n .
2
0000
)(
!2
)(
))(()()( xx
cf
xxxfxfxf −
′
+−
′
+=
и сравним ординаты графика функции и касательной
))(()(
000
xxxfxfY
−
′
+
=
;
2
)(
)()(
2
0
xx
cfYxf
−
′′
=−
,
здесь знак разности Yxf −)( определяется знаком )(cf
′
′
.
Если
0)( >
′′
cf , то Yxf >)( , график расположен выше касательной выпуклостью вниз.
Если
0)( <
′′
cf , то Yxf <)( , график расположен ниже касательной выпуклостью вверх.
5. Точка
))(,(
00
xfxM называется точкой перегиба графика непрерывной функции )(xfy = , если при переходе че-
рез эту точку меняется направление выпуклости графика.
6.
Необходимое условие перегиба. В точке перегиба графика функции ее вторая производная равна нулю или не су-
ществует.
7.
Достаточное условие перегиба. Пусть )(xfy
=
дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки
0
x ,
0)(
0
=
′′
xf и при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, тогда точка ))(,(
00
xfxM является точкой
перегиба графика функции
)(xf .
Пример.
596
23
++−= xxxy ; 9123
2
+−=
′
xxy ; 126
−
=
′
′
xy . 0
=
′
′
y в точке 2
0
=
x , т.е. в точке (2, 7) может быть
перегиб графика функции.
При
2
<
<
−∞ x 0
<
′
′
y и график )(xy выпуклый вверх, при
∞
<
< x2 0>
′
′
y , и
график выпуклый вниз. Таким образом, (2,7) – точка перегиба.
Лекция 19. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
1. При отыскании предела функции часто подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенным
выражениям вида:
0
0
,
∞
∞
, ∞⋅0 , ∞−
∞
,
0
0 ,
0
∞ ,
∞
1 .
Например:
0
0
~
ln
1
lim
3
1
x
x
x
−
→
,
0
0
0~lim
x
x
x
→
.
Нахождение предела в таких случаях называют раскрытием неопределенностей. Правило (теорема) Лопиталя явля-
ется в анализе действенным аппаратом для раскрытия неопределенностей.
2.
Теорема (Лопиталя). Если две функции )(xf , )(x
ϕ
:
1) стремятся к нулю при
0
xx → ;
2) дифференцируемы в окрестности точки
0
x ;
3) существуют конечные производные
)('
0
xf и )('
0
x
ϕ
, причем 0)('
0
≠
ϕ
x ;
В
1
a
b
y=f
(x)
А
1
Y
0
X
В
ab
y=f
(x)
А
Y
X
0
0<
′′
y
x
0<
′′
y

Страницы