Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример.
x
x
y
2
1
2
+
=
.
2
1
2
1
2
1
lim
2
1
limlim
22
2
=
+=
+
=
+∞→+∞→+∞→
xx
x
x
y
xxx
.
Справедливо и при
−∞→
x
.
0
1
lim
2
1
2
1
2
1
lim
222
=
−+
=
−
+
±∞→±∞→
x
xx
x
x
x
xx
.
xy
2
1
=
– наклонная асимптота.
4. Построение графиков функции. Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в
следующем порядке:
1)
Найти область определения функции.
2)
Выяснить симметрию графика (четность/нечетность) и периодичность.
3)
Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности.
4)
Найти асимптоты функции (если таковые имеются) и исследовать поведение функции в граничных точках.
5)
Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат) и области постоянства знака.
6)
Найти стационарные и критические точки и экстремумы и выяснить промежутки возрастания и убывания функ-
ции.
7)
Определить интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.
8)
Используя полученные результаты и выбрав несколько опорных точек, построить график функции.
Пример.
xxy 3
3
−= .
1)
+∞<<−∞
x
.
2)
(
)
)(3)(3)()(
33
xyxxxxxy −=−−=−−−=− ; xxxy 3)(
3
−= – нечетная функция; )(xy не является периодической.
3)
)(xy непрерывна при всех
x
.
4) Вертикальных асимптот нет (т.к. 1) и 3)).
∞=−=
∞→∞→
)3(lim
)(
lim
2
x
x
xy
xx
– наклонных асимптот нет.
5)
0)0( =y ; если 0=y или
(
)
033
23
=−=− xxxx , то 3;0
21
−== xx ;
3
3
=x .
В области
],0[ ∞ нули функции: (0; 0), )0;3( . При 0)(30 <<< xyx ; при 0)(3 >∞<< xyx .
6)
)1)(1(333)(
2
+−=−=
′
xxxxy
;
()
0=
′
xy при ,1
1
−
=
x и 1
2
=
x (это стационарные точки, они же – критические.).
При
10 << x 0)( <
′
xy , )(xy убывает; при
∞
<
<
x1 0)( >
′
xy , )(xy возрастает; x = 1 – точка минимума, 2)1(
−
=
y .
7)
xxy 6)( =
′′
; 0=
′′
y при 0
=
x .
Если
0<x , то 0<
′′
y и функция выпуклая вверх.
Если
0>x , то 0>
′′
y и функция выпуклая вниз.
0=x – точка перегиба графика функции xxy 3
3
−= .
8) Опорные точки: (0; 0), (2; 2),
)0;3( .
9) График (рис. 19.1).
Рис. 19.1
0
X
Y
1
–1
2
3−
3
–2
y = x
3
– 3x

Страницы