Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4) существует конечный предел
k
x
xf
xx
=
ϕ
′
′
→
)(
)(
lim
0
, то
k
x
xf
x
xf
xxxx
=
ϕ
=
ϕ
→→
)('
)('
lim
)(
)(
lim
00
(предел отношения функций равен пределу отношения производных).
Доказательство. Из условия 2) следует, что 0)()(
00
=
=
ϕ
xfx , тогда
)()(
)()(
)(
)(
0
0
xx
xfxf
x
xf
ϕ−ϕ
−
=
ϕ
и, по теореме Коши,
)('
)('
c
cf
ϕ
=
, где xcx <<
0
.
Если
0
xx → , то
0
xc → и k
x
xf
с
сf
x
xf
xxxсxx
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
→→→
)('
)('
lim
)('
)('
lim
)(
)(
lim
000
.
Пример.
3
1
3
lim
ln
1
lim
2
1
3
1
==
−
→→
x
x
x
x
xx
,
1
1
cos
lim
sin
lim
00
==
→→
x
x
x
xx
.
Формула Лопиталя справедлива и при
∞
→
x
, как и при
∞
→)(xf и
∞
→
ϕ
)(x . 0
1
1
lim
ln
lim ==
+∞→+∞→
x
x
x
xx
.
Раскрытие других видов неопределенностей рассмотрим на примерах:
=⋅
+→
xx
x
lnlim
0
(0·∞)
*
0)(lim
1
1
lim
1
ln
lim
0
2
00
=−=
−
=
∞
∞
==
+→+→+→
x
x
x
x
x
xxx
;
()
A
x
x
x
=∞=
+→
0
0
1
lim
; =
=
=
+→+→
x
x
x
x
xx
A
1
lnlim
1
limlnln
00
10)0()ln(lim
0
0
==⇒=∞⋅=⋅−=
+→
eAxx
x
.
3. Асимптоты графика функции.
Линеаризация функции (замена ее линейной) целесообразна не только в микромасштабах (как в дифференциале), но
и в макромасштабах, когда ее график при удалении от начала координат неограниченно приближается к какой-либо пря-
мой (но не повторяет ее). Такие прямые называются асимптотами. Различают вертикальные и невертикальные (наклон-
ные) асимптоты.
Определение 1. Прямая
a
x
= называется вертикальной асимптотой графика функции )(xfy = , если
)(lim xf
ax→
равен +∞ или
−∞ .
В частных случаях асимптота может быть «односторонней», т.е. или при
0
+
→ ax или при 0−→ ax .
Пример.
x
y
1
=
.
+∞=
+→
x
x
1
lim
0
. Следовательно, 0
=
x – вертикальная асимптота для
x
y
1
=
.
Вертикальные асимптоты проходят через точки, где функция имеет разрывы второго рода.
Определение 2. Прямая
by = называется горизонтальной асимптотой )(xf для правой (левой) ветви ее графика,
если
bxf
x
=
+∞→
)(lim
=
−∞→
bxf
x
)(lim .
Пример.
x
y
1
= . 0
1
lim =
−∞→
x
x
, 0
1
lim =
∞→
x
x
; 0
=
y – горизонтальная асимптота.
Пример.
x
ey
−
−= 1 .
[
]
11lim =−
−
+∞→
x
x
e ;
(
)
−∞=−
−
−∞→
x
x
e1lim ; 1
=
y – горизонтальная асимптота при
∞→
x
; при
−∞→
x
асимптоты нет.
Определение 3. Прямая
bkxy += называется наклонной асимптотой )(xf при )(
−
∞→+∞→ xx , если
)()( xbkxxf α++= , где 0)( →α x при )(
−
∞→+∞→ xx .
Для того, чтобы
)(xf имела при )(
−
∞→+∞→ xx наклонную асимптоту bkxy
+
=
, необходимо и достаточно, чтобы
существовали пределы:
k
x
xf
x
x
=
−∞→
+∞→
)(
lim
)(
и bkxxf
x
x
=
−
−∞→
+∞→
])([lim
)(
.
*
Вид неопределенности.

Страницы