Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Точки, в которых произ-
водная равна нулю, называются стационарными.
В примере
596
23
++−= xxxy точки 1
1
=x и 3
2
=
x являются стационарными.
3.
Обобщенная теорема Коши. Пусть функции )(xfy
=
и )(xy
ϕ
=
непрерывны на отрезке ],[ ba , дифференцируе-
мы на
),( ba , тогда существует точка ),( bac ∈ такая, что
[
]
[
]
)()()()()()( cfabcafbf
′
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
′
−
.
Без доказательства.
4.
Теорема Коши (частный случай). Пусть f(x) и ϕ(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b) и 0)(
≠
ϕ
′
x x ∈
(
a, b), тогда справедливо:
),(,
)(
)(
)()(
)()(
bac
c
cf
ab
afbf
∈
ϕ
′
′
=
ϕ−ϕ
−
.
Запишем обобщенную формулу Коши для f(x) и ϕ(x):
[]
(
)
[
]
(
)
cfabcafbf )()()()(
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
′
−
.
Если
()
),(0)( baxx ∈≠ϕ
′
, то )()( ab ϕ≠ϕ (см. теорему Ролля). Поделим обе части обобщенной формулы Коши на
[]
()
cab ϕ
′
ϕ−ϕ )()( и получим ее частный случай.
5.
Теорема Лагранжа. Пусть y = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), тогда на (a, b) существует хотя бы
одна точка
x = c, что
))(()()( abcfafbf
−
′
=
−
.
Доказательство. Предположим, что в теореме Коши ϕ(x) = x (которая непрерывна и дифференцируема при всех x),
тогда ϕ(a) = a; ϕ(b) = b; 1)( =ϕ
′
x и в результате получим формулу Лагранжа. Ее геометрический смысл: на дуге AB (рис.
17.2) всегда найдется по крайней мере одна точка
C, в которой касательная параллельна секущей AB.
6. Теорема Ролля. Пусть )(xf непрерывна на ],[ ba , дифференцируема на ),( ba и )()( bfaf = , тогда найдется по
крайней мере одна точка
),( bac ∈ , такая, что
(
)
0
=
′
cf .
Геометрический смысл: на графике )(xf найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная параллельна
оси
OX (рис. 17.3).
Доказательство. Если в формуле Лагранжа
(
)
)()()( abcfafbf
−
′
=
−
, baafbf ≠
=
),()( , то
()
0=
′
cf .
7. Пусть
0
xx = и xxx
∆
+=
0
– произвольные точки, принадлежащие отрезку ],[ ba , )(xfy = – удовлетворяет усло-
виям теоремы Лагранжа. Тогда
xcfxfxxfy
∆
⋅
′
=
−
∆+=∆ )()()(
00
, xxcx
∆
+
<
<
00
.
2
)( xcfxy ∆⋅
′
=∆⋅∆
:
при
0)( >
′
cf , 0>∆⋅∆ xy и )(xf строго возрастает;
при
0)( <
′
cf – )(xf строго убывает;
при 0)( =
′
cf – )(xf постоянна.
8.
Достаточное условие монотонности функции на отрезке. Если )(xf
′
сохраняет знак на интервале ),( ba , то она
монотонна на отрезке ],[ ba ; при этом положительный знак производной соответствует возрастанию функции, отрица-
тельный – убыванию, функция – суть постоянная, если ее производная всюду равна нулю.
Доказательство. По теореме Лагранжа на отрезке ],[ ba ))(()()( abcfafbf
−
′
=
−
. При ab > : )()( afbf > , если
0)( >
′
cf ; )()( afbf < , если 0)( <
′
cf и )()( afbf = , если 0)(
=
′
cf
Пример.
596
23
++−= xxxy ; )3)(1(3
−
−=
′
xxy . Если 1
<
<
−
∞ x , то 0>
′
y , функция возрастает. Если 31
<
<
x , то
0<
′
y , функция убывает. Если ∞<< x3 , то 0>
′
y , функция возрастает.
9.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция )(xfy
непрерывна в некоторой окрестности точки x
0
и имеет производную )(xf
′
при
0
xx ≠ , причем при переходе через эту точку производная меняет знак на противопо-
x
0
– ∆x x
0
x
0
+ ∆x
b
у
f
(x)
Рис. 17.2 Рис. 17.3
А
В
С
а с b
y
0
x
f(x)

Страницы