Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6. Линеаризацией дифференцируемой функции
)(xfy
=
вблизи точки
0
x называется ее замена линейной функцией
))(()(
000
xxxfxfy −
′
+= .
При линеаризации функции
)(xfy = происходит замена ее графика касательной, а приращение функции
)()(
0
xfxfy −=∆ заменяется ее дифференциалом ))((
00
xxxfdy
−
′
=
. Таким образом, из условия dyy
≈
∆
имеем
xxfxfxxfy
∆
⋅
′
≅−∆+=∆ )()()(
000
или xxfxfxxf
∆
⋅
′
+
≅
∆
+ )()()(
000
.
7. Если найти
)(
0
xf и )(
0
xf
′
достаточно просто, то также просто можно найти значение
()
xxf ∆+
0
.
Пример:
x
xfxxf
2
1
)(;)( =
′
=
, тогда
0
00
2 x
x
xxx
∆
+≅∆+ . При 8,0,16
0
=
∆
=
xx :
1,41,04
162
8,0
168,16 =+=+≅ .
При
1
0
=x :
2
11
x
x
∆
+≅∆+
105,1
2
21,0
121,1 =+≅ .
8.
Производные и дифференциалы высших порядков. Если производная )()( xxf
ϕ
=
′
– дифференцируемая функция,
то
)(xϕ
′
∃ , т.е. существует
()
′
′
)(xf
. Такая производная называется производной второго порядка функции )(xf и обозна-
чается
)(xf
′′
; аналогично
()
)()( xfxf
′′′
=
′
′′
– производная третьего порядка. В общем случае
()
)()(
)()1(
xfxf
nn
=
′
−
.
Примеры:
1)
n
xxf =)( ;
()
1−
=
′
nn
nxx ;
2
)1()(
−
−=
′′
n
xnnxf ;
(
)
!12...)2)(1(...;;)2)(1()(
)(
3
nnnnxxnnnx
n
nnn
=⋅−−=−−=
′′′
−
.
2)
+
π
==
′
= xxxxxf
2
sincos)(sin;sin)(
;
+
π
⋅=+π=
+
π
=−=
′′
xxxxx
2
2sin)sin(
2
cossin)(sin
;
+
π
⋅=−=
′′′
xxx
2
3sincos)(sin
;
+
π
==
Ι
xxx
2
4sinsin)(sin
V)(
и т.д.;
+
π
⋅= xnx
n
2
sin)(sin
)(
.
3)
()
(
)()
....;;;;)(
)(
x
n
xxxxxx
eeeeeeexf ==
″
=
′
=
9. Дифференциал:
dxxfdy ⋅
′
= )( ;
()()
22
)()()()( dxxfdxdxxfdxxfdyddyd
′′
=⋅
′
⋅
′
=⋅
′
== ,
так как 0)( =
′
dx ,
(
)
nnnn
dxxfydydd )(
)(1
==
−
– дифференциал n-го порядка.
10. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
Если
n
nn
xxaxxaxxaaxP )(...)()()(
0
2
02010
−++−+−+= , тогда
00
)( axP
n
=
;
1
0
2
03021
)(...)(3)(2)(
−
−⋅++−⋅+−⋅+=
′
n
nn
xxanxxaxxaaxP ;
10
)( axP
n
=
′
;
2
0032
)()1(...)(2312)(
−
−−++−⋅⋅+⋅⋅=
′′
n
nn
xxannxxaaxP ;
20
12)( axP
n
⋅⋅=
′
′
.
Аналогично:
n
n
nn
anxPaaxP !)(...,,!3123)(
0
)(
330
==⋅⋅⋅=
′′′
.
Следовательно, при любом nk ...,,2,1= :
!
)(
0
)(
k
xP
a
k
n
k
= и многочлен
∑
=
−=
n
k
k
kn
xxaxP
0
0
)()( можно представить в ви-
де
n
n
nn
nnn
xx
n
xP
xx
xP
xxxPxPxP )(
!
)(
...)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
−++−
′′
+−
′
+=
.
Многочленом Тейлора для функции )(xfy = , имеющей производные до n -го порядка, называется выражение
n
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxT )(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
−++−
′′
+−
′
+=
.

Страницы