Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4)
x
y cos= ;
0
0
0
00
0
0
sin
2
sin
2
sin2
lim
cos)cos(
lim)(' x
x
xx
x
x
xxx
xy
xx
−=
∆
∆
∆
+−
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
.
5)
xy ln= ; =
∆
+=
∆
−∆+
=
∆
→∆→∆
x
xx
x
x
x
xxx
xy
1
0
0
00
0
0
1lnlim
ln)ln(
lim)('
0
1
1
0
0
1
ln1limln
0
0
0
x
e
x
x
x
xx
x
x
==
∆
+=
⋅
∆
→∆
.
20. Функция
y = f(x) называется дифференцируемой в точке х = х
0
, если ее приращение ),()(
00
xfxxfy
−
∆
+
=∆ со-
ответствующее приращению аргумента
x∆ в этой точке, можно представить в виде
xxxAy
∆
⋅
∆
α
+
∆
⋅
=
∆
)( ,
где )( x∆α – бесконечно малая функция;
A
– число.
21. Пример.
y = x
3
.
=∆+∆+∆=−∆+=∆
32
0
2
0
33
0
33)( xxxxxxxxy
xxxxxx ∆⋅∆+∆+∆⋅= )3(3
2
0
2
0
; здесь
2
0
2
0
3)(,3 xxxxxA ∆+∆=∆α= .
Так как
,0)3(lim
2
0
0
=∆+∆
→∆
xxx
x
то y = x
3
– дифференцируемая при
0
x , (как и при других значениях
x
).
22. Функция называется дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке
этого множества.
23. Функция
y = f(x) дифференцируема в точке х
0
тогда и только тогда, когда существует конечная производная в
этой точке. При этом
)(
0
xfA
′
= в формуле .)( xxxAy
∆
⋅
∆
α
+
∆
⋅
=
∆
).())((limlim
0
00
xfAxA
x
y
xx
′
==∆α+=
∆
∆
→∆→∆
24. Линейная часть приращения функции в точке х
0
называется дифференциалом функции в этой точке (обозначе-
ние:
dy).
.)(
0
xxfdy
∆
⋅
′
=
Если y = x, то xxddy
∆
== )( : дифференциал независимой переменной равен ее приращению.
Таким образом,
.)( a ,)(
00
dxdyxfdxxfdy =
′
=
25. Если
f(x) и )(x
– функции, дифференцируемые в точке х
0
, то:
1)
);()())()(( xxfxxf
′
±
′
=
′
±
2)
);()()()())()(( xxfxxfxxf
′
⋅+
⋅
′
=
′
⋅
()
)()( xfkxfk
′
⋅=
′
⋅ ;
3)
.
)(
)()()()(
)(
)(
2
x
xxfxxf
x
xf
ϕ
ϕ
′
⋅−ϕ⋅
′
=
′
ϕ
26. Примеры использования этих правил.
1)
() ()
ax
x
aa
x
x
a
ln
1
ln
ln
1
ln
ln
log =
′
=
′
=
′
.
2)
()
()
x
xxxx
x
x
x
2
cos
)(cossincossin
cos
sin
tg
′
−
′
=
′
=
′
x
2
cos
1
=
.
3)
()
x
x
x
x
2
sin
1
sin
cos
ctg −=
′
=
.
4) Если
()
xx 2
2
=
′
,
()
23
3xx =
′
, то можно предположить, что
()
1−
=
′
nn
nxx . Тогда
()( )
()
nnnnn
xnxxnxxxx 11
11
+=⋅+⋅=
′
⋅=
′
−+
.
Таким образом доказано (методом математической индукции), что
(
)
1−
=
′
nn
nxx .

Страницы